P3230296

Lemat 2

Jeśli {u-i,..., u_n] - liniowo niezależny ==> macierz Grama nieosobliwa. ]

Dowód.

Jeśli {(/f, ife,..., u_n} jest bazą (wtedy niezależny), to z jednoznaczności elementu optymalnego wynika nieosobliwość macierzy Grama.

Przykład 3

Znaleźć funkcję g(x) = a-\X + a₂x³ + a₃x⁵ najlepiej aproksymującą funkcję f(x) $ sinx na [-1,1] wg normy ||f|| = (£₁(f(x))² dx^^/2.

Baza: {x,x³,x⁵}. Układ równań normalnych: dla / = 1,2,3:

<*1 lU ^x2'^dx + ^a2 /li x^2,'⁺²0fx + a₃ /_ 1 x^2i+Ądx = /!, X^2/-¹ sin xdx, tj.

‘1/3 1/5 1/7 '		“1		a-b	a-sin i	«i		0.99998'
1/51/7 1/9		“2	=	—3a+5b	1 h—wyć 1 1	02	=	-0.16652
1/7 1/9 1/11		.«3.		65a-101b	v~"W9 i	_^q3		0.0082

Więc bliskie wsp. 1, -1/6,1 /120 rozwinięcia cosx w szereg potęgowy ^

©Zbigniew Bartoszewski (Politechnika Gdańska)    METODY NUMERYCZNE__JQ1BŁ