scan&

Zad. 10.

Trzy liczby, których iloczyn wynosi 64 tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby tworzą także ciąg arytmetyczny. Jakie to liczby?

Rozwiązanie:

Oznaczamy poszukiwane liczby przez x, y, z.

Teraz każde zdanie z treści zadania spróbujemy zastąpić równaniem.

Trzy liczby, których iloczyn wynosi 64

Tworzą ciąg geometryczny

Te same liczby tworzą także ciąg arytmetyczny

Mamy więc układ równań, który trzeba rozwiązać.

{x ■ y • z = 64

y-x=z-y

-> x y Z = 64

—» y² = x z    to wynika

z powyższej uwagi -> y - x = z - y

(to wynika z definicji ciągu arytmetycznego; różnica dowolnego wyrazu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stała dla danego ciągu)

x ■ y ■ z = 64 - y² = x-z 2y = x + z

ta równość wynika z następującego przekształcenia:

y-x = z-y y-x-z+y=0 2 y-x-z = 0 2y = x + z

Do pierwszego równania, w miejsce x-z wstawiamy, z drugiego y²)

V

y³ dlatego, że y² y = y³ zauważamy, że skoro y³=64, to y = 4 bo 4³ = 64

Podstawiamy znalezioną liczbę do drugiego i trzeciego równania

' y = 4 x • z = 16 8 = x + z

bo y² = 4² = 16 bo 2 y = 2 • 4 = 8

Z trzeciego równania obliczamy z; x+z=8 czyli z=8-x i wstawiamy do drugiego równania:

y = 4

x ■ (8 - jc) = 16 z = 8-x

f v = 4

i 8.i - a ' — 16 [ z = 8 - A

y = 4

-x²+8x- 16 = 0 z = 8-x

/•(-1)

55