skanuj0021

Ćwiczenie 1

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego

1. Wprowadzenie

Przyspieszenie ziemskie g jest to przyspieszenie ciał spadających swobodnie w polu grawitacyjnym Ziemi, tj. przy braku oporów ruchu.

Z prawa powszechnej grawitacji Newtona można wyliczyć, że na powierzchni Ziemi jego wartość dana jest wzorem: gdzie G jest stałą grawitacji, &MziRz są odpowiednio masą i promieniem Ziemi. Zatem na biegunach, gdzie promień naszej planety jest najmniejszy, będzie ono. miało największą wartość. Zmiana wartości przyspieszenia g wraz z szerokością geograficzną jest nie tylko wynikiem kształtu Ziemi. Na efektywną wartość g wpływa również jej ruch obrotowy. Związane z nim przyspieszenie odśrodkowe zmniejsza mierzone przyspieszenie ziemskie na wszystkich szerokościach geograficznych z wyjątkiem biegunów. Oczywiście wartość przyspieszenia ziemskiego maleje wraz z wysokością nad powierzchnią Ziemi.

2. Metoda pomiaru

Wartość przyspieszenia ziemskiego możemy wyznaczyć wykorzystując prawa ruchu wahadła prostego. Wahadło proste jest to mała kulka (zwykle metalowa) zawieszona na nierozciągliwej, lekkiej nici, której ciężar możemy zaniedbać. Wychylona z położenia równowagi i swobodnie puszczona kulka wykonuje ruch drgający prosty. Wahadło takie jest najlepszą praktyczną realizacją idealnego modelu wahadła matematycznego (patrz: ćw.2).

* Opracowali: B.Oleś i J.Kurzyk.

Za ruch kulki o masie m odpowiedzialna jest tylko składowa jej ciężaru styczna do toru (rys. 1): F - mg sin$? ; druga składowa - zgodna z kierunkiem napiętej nici - jest równoważona przez siłę napięcia sprężystego nici. Przy wychyleniu o małe kąty, można z dostatecznie dobrym przybliżeniem przyjąć, że sin (p ~ ę, i traktować ruch kulki jako ruch harmoniczny prosty, gdzie siła:

Fm — mgę,

a znak oznacza, że siła jest przeciwnie skierowana do wychylenia ę.

Rozważając mch kulki pod wpływem tej siły i rozwiązując odpowiednie równanie ruchu dostajemy, że kątowe wychylenie kulki ę jest funkcją okresową czasu (p-fQ sin(2jc!T + ag) o okresie danym wzorem:

(1)

T = 2n.

gdzie /jest długością wahadła, ao fazą początkową.

Równanie (1) pozwala na wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego g, jeśli znamy długość wahadła / i okres jego drgań T:

(2)

4 k¹1

g =

rj~t 2

Ze wzoru (1) widać, że okres drgań wahadła prostego nie zależy od masy kulki, ani też od amplitudy wahań (tzw. izochronizm).

3. Wykonanie ćwiczenia

1. Wychylamy kulkę wahadła z położenia równowagi. Umieszczona za wahadłem skala pozwala nam zorientować się w maksymalnej wielkości wychylenia kątowego. Nie powinno ono przekraczać 5°, aby można było stosować na okres wahadła T wzór (1) nie popełniając dużego błędu².

1

si 0,0005, dla <p<y= 10°już 0,0019, a dla p₀⁼ 30°jest równy 0,0172.

2

Wzór (1) na okres wahadła jest wzorem przybliżonym i względny błąd okresu -^wynikający z przyjęcia przybliżenia sin<? » cp wzrasta wraz z kątem wychylenia <p _c. Dla <p ₀= 5° wyno