Skrypt

Miejscem zerowym funkcji f nazywamy element z dziedziny dla którego wartość funkcji wnosi zero. Geometrycznie jest to ten punkt (dokładniej jego pierwsza współrzędna) w którym wykres funkcji przecina oś Ox.

Aby znaleźć analitycznie miejsce zerowe funkcji trzeba rozwiązać równanie f(x) = 0, które w zależności od rodzaju funkcji może być równaniem liniowym, kwadratowym, logarytmicznym, itd.

Podobnie, rozwiązanie nierówności f{x) > 0 (/(x) < 0) jest równoważne ze znalezieniem

tych wszystkich argumentów' (elementów z dziedziny) dla których wykres funkcji leży' powyżej (lub odpowiednio poniżej) osi Ox.

Przykład 1.4.

Dane są funkcje:

/(*) =

X' +1

g(x)

, A(x) =

i

r rl

Wśród funkcji f, g, h znajdź parę funkcji równych oraz przedstaw funkcję g jako restrykcję funkcji f do pewnego zbioru A

Rozwiązanie.

Funkcje f, g. h będziemy rozpatrywać w ich dziedzinach naturalnych. Aby zbadać równość funkcji musimy wyznaczyć (i porównać) te dziedziny oraz porównać wartości.

D,~ jest zbiorem tych wszystkich x dla których x^J +    0. Mamy x⁵ + x = x[x~ — l), wiec

D, =R\{0}.

x    2-i

.05 ;—-- _n    — I

Wyrażenie 3 ma sens wówczas gdy x' + x?0 oraz A—— > 0.

x^_ + x

Rozwiązując

^ > 0 X' T x

x³ 4-1

x(x⁷ + ł)

>0

X

x > 0

czyli D_g = (R\{0})nR~ = R^ł

Dziedzina funkcji/jesi różna od dziedziny funkcji g czyli funkcje fi g me spełniają pierwszego warunku z definicji równości funkcji (Def. 1.3.), a więc nie mogą być równe.

Wyznaczając dziedzinę funkcji h mamy: x > 0

(y x j # 0 o x > 0 ——- >0 o x > 0

(A

czyli D. = R

-    n

Dziedziny funkcji g i h są równe, a więc należy'jeszcze sprawdzić drugi warunek definicji 1.3. Weźmy dowolne x eR’, korzystając z własności logarytmów mamy:

4