Skrypt

Zad. 2.6. Rozwiązać nierówność (*) 2“^C08af — 4“— $“^coss    1.

w której lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Rozwiązanie. Zauważmy, że (*) ma sens przy założeniu q i= 2^_c°³"^; < 1 ^ coss > 0. Uwzględniając powyższe założenie oraz wzór z Tw.2.2, przekształcamy (*} do równoważnej postaci i rozwiązujemy

9 — cos z

--—- <    1 ś=>    <    1—2^-uOS~    ś=> 2^-cos~ <    2^_1 <=? cos :r >    1 ąt cos a¹ = 1 z

l — 2-^^os-~    —    —    —    —

Odp. x — 2ń'zr. i’tZ,

Zad. 2.7. Rozwiązać równanie (*«) 4 • 4^J • 4’’... 4^2n_1 = (0. 2ó)“²ⁿ. Rozwiązanie. (**) ś=? 4¹⁺'^5_-"~^^2r*^-1) = 4²°

Zauważmy, że wykładnik lewej strony równania jest. sumą n wyrazów ciągu arytmetycznego, zatem

•• ..    ■    ,05 .

^ * i <=> o. i =4    <=> n = o.

Odp. n = o.

Zad. 2.8. Suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 1. Obliczyć pierwszy wyraz tego ciągu, jeśli iloraz q jest liczbą, dla której suma kwadratów pierwiastków funkcji z h f(z) — z² — 2qz 4- q — I osiąga, minimum.

Rozwiązanie. Niech .r-j, ;r₂ oznaczają pierwiastki równania fi z) = 0 (oczywiście przy założeniu A(<?) — 4o² — 4(ę — i) > 0). Korzystając ze wzorów Viete^:a, otrzymuj emy

= [2qY — 2i[q — 1) = 4q~ — 2q — 2 = 4j(q — —

4

Wiadomo, że powyższ-Założenie AG) = 4 ■ ~

funkcja, kwadratowa osiąga swoje minimum dla -4( — |) > 0 jest spełnione. Zatem

Odp.

a-. =

1 ~q

a i

— =?• a i

3

4‘

II. Granica ciągu liczbowego.

Liczbę g nazywamy granicą ciągu (a*)

w v_e>o3r*ers-V_r,_>IH) | ci-n — g \< s.

Piszemy g = lim_ft_,_l3C a,_n. Ciąg mający granice nazywamy zbieżnym... a ciąg nie mający granicy rozbieżnym. Mamy: lim*,—©s = 0 <$■    | a„ |= 0.

Twierdzenie 2. 3 Ciąg zbieżny jest ograniczony.

10