Scan10023

zwyczajnym I-go rządu, gdzie f(x.y> - funkcja ciągła w D_: iut (II): F(x gazie F - funkcja trzech zmiennych określona i ciągłą w D₂.

DEF.

Rozwiązaniem lub całką równania (I) nazywamy każdą funkcję y(x) różniczkowalną D"zeGziale J, której wykres leży w D i spełniającą warunek:

y'(x) = f(x, y(x))

Krzywą y = y(x) nazywamy krzywą, całkową. Rozwiązać równanie (I) oznacza w\-znaczyć wszystkie jego całki.

PRZYKŁAD

Rozwiązać równanie y'=3x²-2 v=/(3x²-2)dx = >r-2x+c

Całka ooóina i całka szczeoóina równania »'I

DEF.

Całka ogólna równania (I) nazywamy rodzinę krzywych y= (p(x, C), gdzie C -Darametr, q>- funkcja różniczkowalna.

DEF.

CałKe szczeoóina równania (I) nazywamy każdą, funkcję otrzymaną r całk> ogólne; tego "ównania przez ustalenie wartości C.

PRZYKŁAD

Rozwiązać równanie i wydzielić z całki ogólnej - całkę szczeoóina speniaiaca

(ⁿ) ,

warunek: y rr =i.

y =xcosx

»-i ^xcoxdx= _E'=i

v'= COSJcj v = sinx!

x • sin x - fsmx£&

x sin x + cos x + C

całka ogólna (oznaczenie: c. o.)

n

Wstawiamy do c, o, za y -> 1, a za x ~ i

n n n    n

1= 2 sin_2^+cos 2 +C->C=1-'T i    4

= 1    =0

n

Czyli: y = x sinx 4- cosx+ 1 - er

\    ----■    /i

całka szczególna (c. s.)