wykład 12 20101

83

Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capeliego

» Definicja 4.3.8 (macierz schodkowa)

Macierz nazywamy schodkową, gdy pierwsze niezerowe elementy (tzw. schodki) w kolejnych niezerowych wierszach tej macierzy znajdują się w kolumnach o rosnących numerach. Przyjmujemy, że macierz o jednym niezerowym wierszu, a także dowolna macierz zerowa, są macierzami schodkowymi.

Uwaga. Do sprowadzania dowolnej macierzy do postaci schodkowej wykorzystuje się operacje elementarne nie zmieniające rzędu macierzy (postępując np. według algorytmu Gaussa).

® Przykład 4.3.9

Wszystkie podane niżej macierze są schodkowe:

0 0 0 0 0 6 17 > 0 0 0 0

j 1	0	4	3	0	2		1 ^2	1	0	r
0	5	0	0	1	1		0	3	4
0	0	0	0	7	0	1	0	0	0
0	0	0	0	0	3		0	0	5

0 0 0 0 0

• Twierdzenie 4.3.10 (o rzędzie macierzy schodkowej)

Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej niezerowych wierszy (tj. liczbie schodków).

O Ćwiczenie 4.3.11

Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy:

2	5	1 '		' i	3	5	-1'
									’ i	2	3	4	5
3	0	-6	; b)	2	-1	-3	4
								; ^c)	5	4	3	2	1
-1	4	6		5	1	-1	7		7	8	9	10	11
1	2	0.		1	7	9	1.

o Ćwiczenie 4.3.12

Zbadać rzędy podanych macierzy w zależności od parametru p € R :

					'3	1	1	4 '
1	V	-1	2 "	; b )A =	V	4	10	1
2	-1	V	5		1	7	17	3
1	10	-6	1
					_ 2	2	4	3.

• Twierdzenie 4.3.13 (Kroneckera) - Capellego*)

Układ równań liniowych AX = B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [j4|B] tego układu;

rzA = rz [A\B].

¹ Leopold Kronecker (1823-1891), matematyk niemiecki.

* Alfredo Capelli (1855-1910), matematyk włoski.