19125 wykład 12 20102

122

Twierdzenia o funkcjac

Rozwinięcie Ta

O Ćwiczenie 5.2.2

Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:

a) lim

sin 3x

b) lim

- 1

i—T sin 5x ’ L i—i x³ — 1 ’

•Mtl ^ afĄm x ,? .. arcsin²-\/x e) lim -^-; f) lim

c) lim

g) lim

ch x — 1 —o 1 — cos x ’

ln cos x

d) lim

7r — 2 arctg x

Nieoznaczone

ln

(>♦*)'

_h*N _Hm sinln(2^I + l) -T+ lncos2x’ ' x—-oo sinln (3^X + 1)

r—o+ sin y/z

• Twierdzenie 5.2.3 (reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności

Jeżeli funkcje / i 3 spełniają warunki:

(tVi -Iz.

1.    lim f(x) = lim g(x) = 00,

a:—x—+a:o

2.    istnieje granica lim . (właściwa lub niewłaściwa),

^x_>x° /(ar)

fu X.

«. -f c:

0 • 00

00 — 00

I⁰⁰, oo°, C

to

lim 44 = lim

o₀ g(x)

/(ar) ’

Uwaga. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych oraz dla granic w —00 lub w 00.

Interpretacja geometryczna reguły de L'Hospitaia dla nieoznaczoności ||*

Niech r(x) = (g(x), f(x)) będzie przedstawieniem parametrycznym nieograniczonej krzywej płaskiej I\ Wtedy graniczny kierunek siecznych przechodzących przez początek układu i przez punkty P na krzywej T, gdy punkt P oddala się do 00, pokrywa się z granicznym kierunkiem stycznych do tej krzywej w punktach P, gdy P oddala się do 00.

Uwaga. Tożsamt gdy zawiodą inni

O Ćwiczenie 5.2.5

Obliczyć podane g

aj lim xlnx; 1—0+

d) lim (e¹ - x²)

X —♦ OO

g) lim ( r~---

*—ir \sin X    JT

j*) lim f-l + lii

3-0+ \x²

5.3 Rozwi

• Definicja 5.3.1

Niech funkcja / NU {0} . Wielon

Rys. 5.2.2. Ilustracja reguły de L’Hospitala dla nieoznaczoności

00

00

O Ćwiczenie 5.2.4

Korzystając z reguły de L’IIospitala obliczyć podane granice:

x³ - 2x + 1

ln sin x

lilii --,

—0+ ln tg x

4

'W

-²> CP

c) lim

tg 3x

tg* x ln x

g) lim

c« x + ln x ’

4 - Ur> *

3

- O ,

1

d) lim

x—*o

h) lim

d + 1

1—00 x^J

ln arcsin 5x 3—0+ ln arcsin x

f (

/(*o) + ^£-3

nazywamy wieloi symbolem Pk(x).

Uwaga. Wielomi runki:

Pk (*o) =

^§Brook Taylor { ^ Golin Maclauri

cl

y-o 00

r= -ii—.

v -y<x>

, -L

&

4 ły

% -i c*>

x