43966 wykład 12 20107

13Q^i;.			iy.AcA	li! lii	■II' Badanie funkcji
. im !st
Definicja 6	1.4	(minimum		lokalne właściwe funkcji)

Funkcja / ma w punkcie xo £ R minimum lokalne właściwe, jeżeli

V A    f(^x)>f(^x o)-

ó>o ies(*₀,s)

Ekstrema funk

Uwaga. Implika x³, która spełnić lokalnego (rys. f jest istotne. Swi ma minimum lo

>

i

Rys. 6.1.3. Minimum lokalne właściwe Rys. 6.1.4. Maksimum lokalne właściwe.

• Definicja 6.1.5 (maksimum lokalne, właściwe funkcji)

Funkcja / ma w punkcie xq £ R maksimum lokalne właściwe, jeżeli

V A    f(^x)<f(^x o)-

<5>0 x6S(r₀,i)

Uwaga. Minima i maksima lokalne funkcji (właściwe lub niewłaściwe) nazywamy ekstremami lokalnymi.

i

i

i

i

i

• i

-i i

;t i

I

Jeżeli funkcja m funkcji ma styc2

O Ćwiczenie 6.1.6

Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje mają ekstrema lokalne właściwe we wskazanych punktach:

a) f(x) = |x - 1|, x₀ = 1;

. f x dla i^l ^d> ^/(I> ⁼ ( 2    dla x = 1

b) /(*) = 2 —x¹⁰⁰, x₀ *o = 1; e) /(x) =

= 0; c) /(x) = \/x*, xo

( (x — 2)² dla x jć 2, ( 1    dla x = 2,

= 0; io

= 2.

■ Twierdzenie 6.1.7

(Fermata", warunek konieczny istnienia ekstremum)

!

I

!

i

Jeżeli funkcja / ma:

1.    ekstremum lokalne w punkcie xo,

2.    pochodną /' (xq),

to

/'(*■ o) = 0.

'Pierre de Fermat (1601-1665), matemat}'k francuski.

Rys. 6

•    Fakt 6.1.8 (o li

Funkcja może i równa się zero a

O Ćwiczenie 6.1.9

Dla podanych fui

a) /(*) = y/W~

d) f(x) = ln (|x| -

•    Twierdzenie 6.1

Jeżeli funkcja /

1. /'(* _o) = 0

to w punkcie xg