15817 wykład 12 20108

£8&8ś?ś#igE

T

-Ar-

■ -i

Badanie funkcji

Ekstrema funkcji

iiuai-wm!!!

131

#=/(*)

Uwaga. Implikacja odwrotna jest fałszywa. Świadczy o tym przykład funkcji /(ar) = a^-3, która spełnia w punkcie Xq = 0 warunek f (aro) = 0, ale nie ma tam ekstremum lokalnego (rys. 6.1.5). Założenie istnienia pochodnej funkcji / w tym twierdzeniu jest istotne. Świadczy o tym przykład funkcji f(x) = |ar|, która w punkcie aro = 0 ma minimum lokalne właściwe, ale f (aro) nic istnieje (rys. 6.1.6).

Rys. 6.1.5.

Rys. 6.1.6.

calne właściwe.

' ' i' !'P jlf i

eli

Interpretacja geometryczna twierdzenia Fermata

Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie oraz jeżeli w tym punkcie wykres funkcji ma styczną, to ta styczna jest pozioma.

ciwe) nazywamy

Rys. 6.1.7. Styczne w punktach ekstremalnych funkcji są poziome.

calne właściwe we

* = 2, s mum)

To = 2.

ł

ii

li

•    Fakt 6.1.8 (o lokalizacji ekstremów funkcji)

Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.

O Ćwiczenie 6.1.9

Dla podanych funkcji wskazać punkty, w których mogą one mieć ekstrema lokalne:

a) f(x)    =    \J\x - 2);    b) f(x) - x⁹⁹⁹    - 999x; c) f(x) -3 -    f/x\

d) f(^x)    —    In (|z| + 1);    e) f(x) = |x|(z    + l)^s; f) f(x) =    |s    - 1|    + |x| + 2|x - 3|.

•    Twierdzenie 6.1.10 (I warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja / spełnia warunki:

1. /' (x₀) = 0,

^    \    /    f    ^>    0    dla każdego x    £ S (xq , S) ,

| /'(ar) <    0    dla każdego x    £ S (ar|f ,<$) ,

to w punkcie xq ma maksimum lokalne właściwe.

r. '    foli

* ) +'(*.) = o

cO

'YM ^

/yy\ cv

Ui, h i ^ &

/^A 'W¹ W

rr\ -