wykład 12 20102

«-»    Układy równań liniowych

• Fakt 4.3.14 (o liczbie rozwiązań układu rtfumań liniowych)

Niech AX = B będzie układem równań liniowych z n niewiadomymi. Wówczas:

1.    jeżeli rz ,4 rz [A|.B], to układ nie ma rozwiązania (jest sprzeczny);

2.    jeżeli rzA = rz [A\B\ — n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest oznaczony);

3.    jeżeli rz A = rz [A\B\ = r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n — r parametrów (jest nieoznaczony).

O Ćwiczenie 4.3.15

W podanych układach równań określić

--i

+ 2 z — 3£ = 2,

- z + At - 1,

liczby parametrów:

c)

I 4x - y + 3z - 2t *7

' x + 2y + 3z = —1, 3x + 6y + Iz =    5,

2x + \y + 5z =    2,

x + 2y + Az = —5;

5;

(nie rozwiązując ich) liczby rozwiązań oraz

!4x — y + z = 3,

2x + 3y — z = 5,

2,x - 4y + 2z = 2;

x    -    2y    +    3z =    -7,

I 3x    +    y    +    4z =    5,

j 2x    +    3y    +    z =    12,

[ 2x    +    5y    +    z —    1.

o Ćwiczenie 4.3.16

Określić liczbę rozwiązań w podanych układach równań w zależności od parametru

•n •

(p-	• 2)x	+	(2 p-	1 )y
	2x	+	(3 +	p)y
X -	- y	+	2z =	4,
3x + y		-	z =	2,
7x + 5 y			Iz =	-2,
6x -	- 2y	•	5 z —	p\

^bM

X +

2x -

py - z = 1, y + pz = 0,

( * + lOy — 6z = p;

{x + 2y - z = 3, 2x — 3y + z = 1, 8x - by + z = p, x + y — z — 0.

Interpretacje geometryczne układu trzech równań z trzema niewiadomymi.

W interpretacjach każde z równań układu (*) przedstawia płaszczyznę w R³.

{a\X    -f    b\ y    +    ci z    =    d\    *—    równanie płaszczyzny 7Ti

a-2'x    +    boy    +    C2Z    =    cfe    *—    równanie płaszczyzny 7r2

a;sx    +    &₃y    +    c₃z    =    d₃    <—    równanie płaszczyzny 7t₃

Podane niżej rysunki nie wyczerpują wszystkich możliwości.

mm mm i mm

Definicja indukcyjna wyz

12. Niech A będzie macie) symetryczne.

3. Każdą macierz kwadr, macierzy symetryczne

Dowód (str. 162).

O Ćwiczenie* 3.2.30

Niech macierze kwadratom że ich iloczyn jest macier:

3.3 Definicja im

• Definicja 3.3.1 (wyznać.

Wyznacznikiem macierzy rzeczywistej (zespolonej) Funkcja ta jest określona

1.    jeżeli macierz A ma s

2.    jeżeli macierz .4 ma s

det. A '= (—l)¹⁺¹an ¹

gdzie Aij oznacza ma i-tego wiersza i j—tej

Uwaga. Wyznacznik nu formie rozwiniętej przez

det

an a

«2i    a-:

i

(l_n\ d

Będziemy mówili zamiei wyznacznika <—> elemen lumna wyznacznika <—>

⁰ Ćwiczenie 3.3.2

Korzystając z definicji o