045(1)

1)    Dla y = x*

a)    lny = .xinx

b)    —y = .v'ln .* -f-.v(ln x)' = ln x-\-x ■    = ln .v+l

c)    y = _y(l-fln x) = x^x(l-f-ln x)

2)    Dla r = (cosa)^sin21

a)    ln r = sin 2x ln cos a

b)    — = (sin 2a)' In cos a+sin 2a (ln cos a)' =

= 2 cos 2a ln cos a-’ sin 2x(— ^{Sm 2} | =

1 cos a

— 2 cos 2x ln cos a—2sin^{1 2}a

c)    r' = 2 (cos 2 a ln cos x—sin²a)(cos a)^sin21

yl-t²

3)    Dla i ^2t

1

a) ln s — ln 2-fln t--— ln(1 — t²)

b) -^Ł

1

c) j' =

2 l — l² t 21

t

T-t²

/(i-*²)

i a -i²)

i([-i²)\l-t² |'(l-r²)³ 4) Dla R = (x-1) ] (x-\-l)\x-2)

a) ln R — In (x— 1)+ Ą- ln (x-j-l)-^- -y ln(jc—2)

2x²—3x— 1

_M R’ _ i _____

' R x-l'^T 3(*+l) ^ 3(x—2)    (x² —l)(.v—2)

2v²_3v—1

c) R’ = 7^

■ + -T7

1

(.v²— 1)(t -2) 2x²—3x— 1

(x+mx-2) =

203. 3- =

210. r - (sin 7/

211. y

212. u =

(1+0²

•v(-v²+l)

ri-*²

(2+0X3 I-O⁴

214. s

213. j = j i"*^ł) r (v-I)²

215*. 7’ = X**

§ 8. Pochodne wyższych rzędów

Jeżeli / jest pochodną funkcji y = /(x), to pochodną funkcji / nazywa się drugą pochodną funkcji y lub pochodną drugiego rzędu funkcji wyjściowej

y i oznacza się przez/' lub/ "(x), albo też ^ .

Analogicznie określa się i oznacza pochodne dowolnego rzędu:

pochodna trzeciego rzędu (/')' = /" — f"'(x) =

pochodna czwartego rzędu (>'"')' = y^w — f^l4)(^x)

pochodna n-tego rzędu (jj⁽" -¹ >)' =_= /"> = /^w(x) — ‘j{n

Celem znalezienia pochodnej jakiegokolwiek wyższego rzędu danej funkcji należy wyznaczyć kolejno wszystkie pochodne niższych rzędów.

Pochodną M-tego rzędu iloczynu dwóch funkcji wyznaczamy posługując się wzorem Leibniza

{U ■ v)⁽ⁿ⁾ — W^(B)W+WM⁽'^,-1V-p —~j—...

... + —^k 1 1)    _j_ _ _ J_rnu’v^<-"~¹^-\-iw^

k.!

216. Wyznaczyć pochodne wyższego rzędu dla funkcji:

1)    y — x⁵—7x³+2; wyznaczyć/"

2)    y = łnx; wyznaczyć y⁽⁵⁾

3)    s = arctg2x; obliczyć s"(— 1)

4)    y = e~^,p siny; wykazać, że funkcja ta czyni zadość równaniu

/'+2/+2y = 0

5)    y = e^x(x²— 1); wyznaczyć /²⁴⁾

6)    y x^m; wyznaczyć y^(k)

Rozwiązanie: 1) Różniczkując funkcję y, otrzymamy

Q0' = y — 5x⁴—21 X²

93

1

Cv|-l)(x-2)²

2

Wyznaczyć pochodne następujących funkcji:

3

209. v - ) *