1) Dla y = x*
a) lny = .xinx
b) —y = .v'ln .* -f-.v(ln x)' = ln x-\-x ■ = ln .v+l
c) y = _y(l-fln x) = xx(l-f-ln x)
2) Dla r = (cosa)sin21
a) ln r = sin 2x ln cos a
b) — = (sin 2a)' In cos a+sin 2a (ln cos a)' =
= 2 cos 2a ln cos a-’ sin 2x(— Sm 2 | =
1 cos a
c) r' = 2 (cos 2 a ln cos x—sin2a)(cos a)sin21
yl-t2
3) Dla i 2t
1
a) ln s — ln 2-fln t--— ln(1 — t2)
b) -Ł
1
c) j' =
2 l — l2 t 21
t
T-t2
/(i-*2)
i a -i2)
i([-i2)\l-t2 |'(l-r2)3 4) Dla R = (x-1) ] (x-\-l)\x-2)
a) ln R — In (x— 1)+ Ą- ln (x-j-l)-^- -y ln(jc—2)
2x2—3x— 1
■ + -T7
1
203. 3- =
210. r - (sin 7/
212. u =
•v(-v2+l)
ri-*2
213. j = j i"*ł) r (v-I)2
215*. 7’ = X**
§ 8. Pochodne wyższych rzędów
Jeżeli / jest pochodną funkcji y = /(x), to pochodną funkcji / nazywa się drugą pochodną funkcji y lub pochodną drugiego rzędu funkcji wyjściowej
y i oznacza się przez/' lub/ "(x), albo też ^ .
Analogicznie określa się i oznacza pochodne dowolnego rzędu:
pochodna trzeciego rzędu (/')' = /" — f"'(x) =
pochodna czwartego rzędu (>'"')' = yw — fl4)(x)
pochodna n-tego rzędu (jj(" -1 >)' =_= /"> = /w(x) — ‘j{n
Celem znalezienia pochodnej jakiegokolwiek wyższego rzędu danej funkcji należy wyznaczyć kolejno wszystkie pochodne niższych rzędów.
Pochodną M-tego rzędu iloczynu dwóch funkcji wyznaczamy posługując się wzorem Leibniza
{U ■ v)(n) — W(B)W+WM(',-1V-p —~j—...
... + —^k 1 1) _j_ _ _ Jrnu’v<-"~1^-\-iw^
k.!
216. Wyznaczyć pochodne wyższego rzędu dla funkcji:
1) y — x5—7x3+2; wyznaczyć/"
2) y = łnx; wyznaczyć y(5)
3) s = arctg2x; obliczyć s"(— 1)
4) y = e~,p siny; wykazać, że funkcja ta czyni zadość równaniu
/'+2/+2y = 0
5) y = ex(x2— 1); wyznaczyć /24)
6) y xm; wyznaczyć y(k)
Rozwiązanie: 1) Różniczkując funkcję y, otrzymamy
Q0' = y — 5x4—21 X2
93
Cv|-l)(x-2)2
Wyznaczyć pochodne następujących funkcji:
209. v - ) *