056(1)

Jeżeli wartości dx\ będą dostatecznie małe, to z dowolnie małym błędem względnym przyrost funkcji może być zastąpiony przez jej różniczkę⁰

Ay ~ dy

Ta przybliżona równość znajduje zastosowanie w obliczeniach przybliżonych; obliczanie różniczki jest bowiem częstokroć znacznie prostsze niż bezpośrednie obliczenie przyrostu funkcji.

276. Wyznaczyć różniczki funkcji:

<T'    ,    3

1) y = x³-3^x    2) F(<y) = cos + sm —

3) z= ln(l-re^ll,JC)-rarcctge^Sx; obliczyć dzdla x = 0. dx —

Rozwiązanie. Znajdując pochodną danej funkcji i mnożąc ją przez różniczkę zmiennej niezależnej otrzymamy poszukiwaną różniczkę funkcji.

1)    dy = y’dx = (,x³—3^X)'dx = (3.v²- 3¹ ln 3) dx

2)    dF(q) - o'|coSy-l sin-^ | - |cosy+sin J j dq --

• 9 — sm-V •	teY	. 3 f-cos— •	(^3yi
3	\^3/	9	\rl J

1 . q> . 3    3 \

^ , [d+^y ^ó) ~ l-f e^,0x	ry "U- 1 -(- e’^0x
/ 10e^,0x	5«“ U_
~ \l + e^10x	1+etoXj‘^ix ■ i+eto*
Podstawiając x — 0	i dx -= 0,1, otrzymujemy
	{dĄx=o, dx=o,i ~ y • 0,1 = 0,25

277. Obliczyć wartości przybliżone: 1) J^A17, 2) arc tg 0,98, 3) sin 29°. Rozwiązanie. Jeżeli mamy obliczyćf(x_x), a okaże się, że prościej jest obliczyć f(x₀) i f'(x₀), to dla dostatecznie małych, co do wartości bez-

^ł) Z wyjątkiem punktów, w których y = 0.

względnej, różnic x_l—x₀ — dx można przyrost funkcji zastąpić przez jej różniczkę:/(*,) /Oo) ~ f'(x₀)dx i obliczyć wartość przybliżoną szukanej wielkości na podstawie wzoru

/Oi) ~ /On) hf '(^xo)dx    (b)

1) Pierwiastek ( 17 traktujemy jako wartość szczególną funkcji f{x) — = j jc dla oc = 17 = Xi. Niech *₀ = 16; wtedy

/On) - ^16 - 2; /'Oo) - ₄ [* ⁴ J_X=I6 ~ ₄ V,-23 ~ 32

4^16^J

oraz dx — .v,-x₀ — 1.

Podstawiając te wartości do wzoru (b), otrzymamy

pl7 xf(x₀)+f'(xo)dx - 2+ y₂- ‘ ¹ = 32 ~ 2,031

2)    Rozpatrujemy arc tg 0,98 jako wartość szczególną funkcji j = = arc tg x dla x = 0,98 = x_t. Niech x₀ — 1; wtedy

y(x₀) = -4 ; /Oo) = |jq^ _x=i “y

oraz dx — x_l—x<_i - —0,02.

Posługując się wzorem (b), znajdujemy

arc tg 0.98 ^ yOo)//Oo)^ = ^ + y (-0,02) a 0,7754

3)    Przyjmując, że sin 29° jest wartością szczególną funkcji y = sin*

* »*

dla x - arc 29° = ^ • 29 -= oraz żc *₀ = arc 30° = otrzymamy

;’Oo) = sin/- = y ; YOo) = [cosx]_x= * = —-

,    29rr    jt rr

^i,X - x_l-x₀ - _{1?Q    6} - - IgO

sin 29° x y(x₀)+y'(x₀)dx = y + y- f—1^0) * ^0,4848

Wyznaczyć różniczki funkcji:

278. y = (a-|-óx)^m    279. z = <r' (2 - 2f -f²)

115