05

N

(2.7)

Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych średnią harmoniczną obliczamy według wzoru (2.7), z tym że konkretne warianty cechy (jc,) zastępujemy środkami przedziałów (x₍).

Średnią harmoniczną stosuje się wówczas, kiedy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych, np. w km/h, kg/osobę, wagi zaś — w jednostkach występujących w licznikach tych jednostek względnych. Można tu wymienić np. takie zmienne, jak:

—    prędkość pojazdu (zmienna: w km/h, waga: w km),

—    gęstość zaludnienia (zmienna: w osobach/km², waga: w osobach),

—    spożycie artykułu X na I osobę (zmienna: w kg/osobę, waga: w kg).

Sposób obliczania średniej harmonicznej przedstawia poniższy przykład. Załóżmy, że gęstość zaludnienia w dwu 60-tysięcznych miastach wynosiła odpowiednio: 400 osób/km² i 600 osób/km². Jaka była przeciętna gęstość zaludnienia obu tych miast?

Wykorzystując wzór (2.6), mamy:

H = -■ ² _| ■ =    = 480 osób/km’.

400 ⁺ 600 7200

Stosując średnią arytmetyczną do obliczania przeciętnej gęstości zaludnienia obu miast (wzór (2.1)), otrzymalibyśmy:

_    400 + 600    ₂

x =---= 500 osób/km-.

Wynik ten jest jednak nieprawidłowy. Każde z miast zajmuje bowiem powierzchnię równą odpowiednio:

60000 osób : 400 osóh^km² = 150 km²,

60000 osób : 600 osób/km^: = 100 km².

Oba miasta, liczące łącznie 120000 osób, zajmują zatem powierzchnię 250 km^:. Wobec tego średnia gęstość zaludnienia w obu tych miastach jest równa:

120()0() osób : 250 km² = 480 osób/km².

Ten sam rezultat można otrzymać, stosując do obliczenia średniej gęstości zaludnienia wzór (2.7):

// =

60000 + 60000

1

400

60000 +

1

600

60000

120000 150+ 100

= 480 osób/km².

W przykładzie tym zmienną jest gęstość zaludnienia mająca miano: osoby/km². Liczebności — pełniące rolę wag — podane są w osobach, czyli w jednostkach liczników zmiennej, toteż właściwą miarą do obliczania przeciętnej gęstości zaludnienia jest średnia harmoniczna.

Średnia geometryczna. Średnia geometryczna jest pierwiastkiem //-tego stopnia z iloczynu n wartości danej zmiennej, czyli:

X, = yjx,x₂...x_n = y nX;.    (2.8)

gdzie x_x jest symbolem średniej geometrycznej, a n — znakiem iloczynu.

Gdy wartości zmiennej występują z różną częstotliwością, średnią geometryczną obliczamy następująco:

(2.9)

gdzie N = ti_y + rt₂ + ... + n_k.

Średnia geometryczna znajduje zastosowanie przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk. Dlatego też zostanie ona dokładniej omówiona w rozdziale dotyczącym analizy dynamiki zjawisk.

Dominanta (modalna, wartość najczęstsza). Dominantą nazywamy taką wartość zmiennej, która w danym rozkładzie empirycznym występuje najczęściej. Wynika z tego, że wartość dominanty można ustalić jedynie z rozkładów jednomodalnych.

W szeregach wyliczających i rozdzielczych punktowych dominanta jest tą wartością cechy, której odpowiada największa liczebność.

W szeregach rozdzielczych przedziałowych bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym znajduje się dominanta (jest to

41