071(1)

ułamka o liczniku stałym lub gdy jest pierwiastkiem o wykładniku naturalnym. Charakter tych uproszczeń, z którymi spotykamy się przy poszukiwaniu ekstremów wymienionych funkcji, będzie wyjaśniony przy rozwiązywaniu zad. 341*.

340. Znaleźć maksima i minima funkcji:

1) y =    (1—X²)³    2)    u — jc|/ 1—jc²

3) v =    4)    p = *³-12*

5) q —    xr+ V V⁵    6)    r = sin²*

7)* s = 1+ | arc tg(*—1)]

Rozwiązanie. Postępujemy zgodnie z regułą poszukiwania ekstremum funkcji:

1) I. Wyznaczamy pochodną y' = 3(1—*“)²(—2x) = — 6*(1— x^tf oraz punkty krytyczne. Dla y'= 0, otrzymamy *i = 0, x₂ = 1, *j = —1. Funkcja y jest określona i ciągła na całej osi liczbowej, zatem punkty x_u *₂ i *3 są rzeczywiście punktami krytycznymi. Leżą one wewnątrz obszaru określoności funkcji, a funkcja w punktach tych jest ciągła. Innych punktów krytycznych nie ma, gdyż pochodna y' wszędzie istnieje.

IT. Badamy punkty krytyczne określając znak pochodnej na lewo i na prawo od każdego z tych punktów (wg reguły Ila). Dla przejrzystości i skrócenia rachunków^r dogodnie jest zapisać to badanie w postaci tabelki:

X	-2	-1	i ~~2	0	1 2	1	2
y'	+	0	^/Jr	0	-	0	-
y	roś.	nie ma ekstr.	roś.	max	mai.	nie ma ekstr.	mai. A

W pierwszym wierszu zapisujemy punkty krytyczne, w tej kolejności, w jakiej leżą one na osi liczbowej, i między nimi wstawiamy punkty pośrednie, leżące na prawo i na lew'o od punktów kry tycznych. W drugim wierszu piszemy znaki pochodnej we wskazanych punktach pośrednich, czyli

znaki /(—2), y' | —i-j, y'    j i y’(2), w trzecim zaś wierszu wnioski do

tyczące zachowania się funkcji.

Badana funkcja ma jeden punkt ekstremalny — punkt maksimum * = 0, w którym y_max = >(0) = 1. Do tego punktu w przedziale (— oo, 0)

funkcja stale rośnie, a następnie w przedziale (0, f co) — stale maleje (rys. 51).

2) I. Szukamy punktów krytycznych. Pochodna u = -j=r-jest równa

y 1— x²

zeru dla x_li2 = ±-.=, a nie istnieje Gest nieciągła) dla .t_3i4 = ±1. Jednak

punktami krytycznymi są tylko punkty i x₂; leżą one wewnątrz obszaru określoności funkcji (przedział [—1, 1]) i w punktach tych funkcja jest ciągła. Punkty xj i nie są krytycznymi, bowiem nie leżą wewnątrz dziedziny funkcji u, ale na jej brzegach.

IT. Badamy punkty krytyczne wyznaczając znak pochodnej w punktach sąsiadujących z nimi. Układamy następującą tabelkę:

Z tabelki tej widać, że funkcja u ma dwa punkty ekstremalne: punkt i

minimum x =

V2

w

którym u_mtn = u -~=rj = — y, i punkt mak

simum a:

-j=> w którym u„ V2

= “(tt) ⁼ i^(rys'⁵²⁾'

u

1

Rys. 52

[ -.1 X	-0.9	1 ~yi	0	i y/2	0,9
u	-	0	+	0	-
u	mai.	min	roś.	max	mai.

3) I Znajdujemy pochodną v' = 2• y x³ —5 • ■— x ³ = y • oraz

punkty krytyczne. Mamy v' = O, gdy x = 1, oraz v' nic istnieje (równa się oo), gdy x = 0. Funkcja v jest określona i ciągła na całej osi liczbowej, zatem oba znalezione punkty są punktami krytycznymi.

MS

10 Metody rozwiązywania zadań