079(1)

jak najmniejsze, innymi słowy, aby suma długości dolnej podstawy i obu ramion była jak najmniejsza?

374*. Do kanału o szerokości 4 m wpada kanał o szerokości 2 m. Jaka jest największa długość sztuk drewna, które mogą spływać z jednego kanału do drugiego (nie biorąc pod uwagę grubości drewna)?

375*. Dwa punkty poruszają się po osiach układu współrzędnych w dodatnich kierunkach osi, ze stałymi prędkościami zn i vt. W jakiej chwili odległość między tymi punktami będzie najmniejsza, jeżeli w chwili początkowej punkty te zajmowały położenia (—3, 0) i (0, 5)1

376. Po równi pochyłej (rys. 65) stacza się swobodnie (bez tarcia) kula. Zakładając, że podstawa AB nie ulega zmianie, znaleźć kąt rp nachylenia równi, przy którym czas staczania się kuli będzie najmniejszy?

Rys. 65

§ 7. Wypukłość i wklęsłość krzywej oraz punkty przegięcia

Mówimy, że krzywa jest wypukła w pewnym przedziale, jeśli we wszystkich punktach tego przedziału leży ona poniżej swych stycznych, natomiast gdy w pewnym przedziale krzywa leży powyżej każdej ze swych stycznych, to jest ona w tym przedziale wklęsła.

Punkt krzywej, w którym krzywa z wypukłej staje się wklęsła, czy też na odwrót, nazywa się punktem przegięcia.

Krzywa podana na rys. 66 jest wypukła w przedziale (a, b) i wklęsła w przedziale (b, c); punkt B jest punktem przegięcia.

Wypukłość i wklęsłość krzywej y — f(x) charakteryzują się znakiem drugiej pochodnej y": jeieli w pewnym przedziale y" > 0, to krzywa jest w tym przedziale wklęsła, a jeśli y" < 0, to krzywa jest wypukła.

Odcięte punktów. przegięcia krzywej y = f(x), czyli wykresu funkcji y — f(x), są punktami ekstremum pierwszej pochodnej y' = f\x). Można więc podać następującą regułę poszukiwania punktów przegięcia:

I.    Wyznaczamy y" i punkty w których druga pochodna albo jest równa zeru, albo nie istnieje, ale w których sama krzywa jest ciągła, przy czym punkty te leżą wewnątrz obszaru, gdzie krzywa jest zdefiniowana.

II.    Określamy, jaki znak ma y" po lewej i po prawej stronie każdego z tych punktów. Badany punkt x będzie odciętą punktu przegięcia, gdy znaki y" po obu stronach tego punktu będą różne.

Przedziały wypukłości i wklęsłości krzywej są wyznaczane z warunku, że krańcami tych przedziałów mogą być wyłącznie albo punkty przegięcia, albo punkty nieciągłości, lub punkty graniczne obszaru, w którym "krzywa jest określona.

377. Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia krzywych:

1) y = 3.x⁵—5x⁴+4    2) y = 3— Y(x+2f

3) y = 4 |201    4) y = -₍^_)T

5)* y = 2 — | jc⁵— 11

Rozwiązanie. Kierując się wskazaną regułą znajdujemy punkty przegięcia krzywej.

1)1. Szukamy punktów a: leżących wewnątrz obszaru położenia krzywej, w' których y" = 0 lub nie istnieje, a w których sama krzywa jest ciągła

/ = 1 5a-’ - 20x³, y" = 60x³ - 60x² = 60x\x -1)

Pochodna y" = 0 w punktach x = 0 i x — 1. Są to właśnie szukane punkty. Istotnie, krzywa jest określona i ciągła na całej osi odciętych, a innych punktów x, które mogłyby być punktami przegięcia nie ma, pohieważ y" istnieje wszędzie.

II. Zbadajmy znalezione punkty, określając znak y" na lewo i na prawo od każdego z nich. Wyniki zestawiamy w tabelce, podobnie jak to czyniliśmy przy poszukiwaniu punktów ekstremum.

Z tabelki wynika, że x =1 jest odciętą punktu przegięcia krzywej, przy czym >•(!) = 2. Ponieważ krzywa jest ciągła, to w całym przedziale

161

11 Metody rozwiązywania zadań