088(1)

VIII. Sporządzamy wykres funkcji w przedziale [0, ^ zgodnie z wynikami otrzymanymi przy badaniu funkcji, a następnie przedłużamy wykres okresowo na lewo i prawo od tego przedziału (rys. 77).

y 1	y=sin*x + co$^4X i V,/ ^r j i i
0	TT TT X
	4 2
	Rys. 77

e 5) I. Funkcja y — x*e * jest określona na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktu x — 0.

II.    Funkcja jest nieciągła w punkcie x~0; jest ona określona w pobliżu

tego punktu, ale nie jest określona w samym tym punkcie. Znajdujemy

granice jednostronne i określamy charakter nieciągłości. Mamy lim y — 0,

*-►—0

1

ponieważ lim c¹- e^-50 = 0. Gdy x-+ +0 zachodzi przypadek 0 • co.

X-*-0

Nadając funkcji postać ułamka oraz stosując dwukrotnie regułę de PHos-pitala, otrzymamy

i    JL

e^x    X^{1 e}    s”

lim y = lim -    = lim-^— = lim —=

_ f.    _

X-    .V¹    X

J

lim ^ = +°°

Zatem w punkcie x = 0 funkcja ma nieciągłość nieskończoną. W pozostałych punktach osi liczbowej funkcja jest ciągła.

III.    Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani też okresowa.

IV.    Wykres funkcji nie przecina się z osiami układu; jak stwierdziliśmy w p. U początek układu jest punktem granicznym lew^rej gałęzi wykresu.

Znajdując znak funkcji w dowolnym punkcie na lewo od punktu nieciągłości, np. y(—2) > 0, i na prawo od punktu nieciągłości, np. y(2) > 0,

stwierdzamy, że funkcja w całym obszarze określoności przybiera dodatnie wartości.

V. a) Ponieważ funkcja ma nieciągłość nieskończoną w punkcie x = 0 wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu x = 0. b) Znajdujemy, że

JL    J_

k = lim — = limxe^x == -f oo, ponieważ lim e* — 1

J0-++ co ^x    00

Nie istnieje też współczynnik kątowy asymptoty nie pionowej, gdy X ->—co. Wykres funkcji nie ma więc asymptot tego rodzaju.

VI. Pochodna y' = e^x (2x—l) jest równa zeru w punkcie * = y’

będącym wobec tego punktem krytycznym, i nie istnieje w punkcie x — 0, który jednak, będąc punktem nieciągłości, nie jest punktem krytycznym. Badając, jaki znak ma druga pochodna w punkcie krytycznym

_y,₌ 2^+. y _y,(|)_>0

stwierdzamy, że punkt x — 4- jest punktem minimum, przy czym y_min =

ł)=T-

Określając znak pochodnej y' w przedziałach wyznaczonych przez punkty nieciągłości i punkty ekstremum widzimy, że wprzedziałach (—co,0) i (o, pochodna y’ < 0, zatem funkcja w przedziałach tych maleje, a w przedziale ^y, +ooj pochodna y- > 0 i funkcja rośnie.

2x²—2x4-1    —

VII.    Druga pochodna y" —-^-e ^x nigdzie nie równa się zeru

i istnieje w całym obszarze określoności funkcji, a więc wykres funkcji nie ma punktów przegięcia.

Określając znak drugiej pochodnej y" w dowolnym punkcie na lewo i na prawdo od punktu nieciągłości, np. y"{—2) > 0 i y”(2) > 0, stwierdzamy, że wykres funkcji wszędzie jest wklęsły.

VIII.    Z uwagi na niewystarczalność uzyskanych danych dla scharakteryzowania przebiegu wykresu funkcji znajdujemy jeszcze dodatkowo kilka punktów wykresu, biorąc kilka wartości a: i obliczając odpowiadające im