100 38

84

o równoważności układów sił wewnętrznych i zewnętrznych, układ działający na ścianki czworościanu jest równoważny układowi zerowemu.

Gęstości sił wewnętrznych na poszczególnych ścianach przedstawiono na rys. 3.6 za pomocą ich składowych. Załóżmy, że ze wszystkich naprężeń np. na ściance ACD naprężenie w punkcie A_l(x_lt x₂+aAx₂, x₃+0Ax₃) gdzie |cr|<I, |/?|<l będzie naprężeniem średnim. Naprężenie to oznaczymy przez p_lt zaś jego współrzędne przez

(3.10)

&ij -    ,x₂+aAx₂,x₃+pAx₃) .

Podobnie przyjmiemy, że w punktach A₂, A₃ i A, naprężenia są średnie ze ścianek AFz, AFy i AF; oznaczamy je następująco:

(3.11)

Przyjęcie średnich naprężeń pozwoli nam na prosty zapis sumy sił wewnętrznych na poszczególnych ściankach, wystarczy bowiem średnie naprężenie pomnożyć przez pole powierzchni ściany.

Wykorzystamy teraz wiadomość, że układ sił wewnętrznych, działających na czworościan jest układem zerowym. Wynika stąd, że suma S sił jest równa zeru (0), oraz moment M względem dowolnego punktu jest również równy zeru (0). Przyrównując do zera współrzędne sumy otrzymujemy:

(3.12)

S_t — — d_tl AF_t —d_2t AF₂—a₃₁ AFj+ójj AF = 0, S₂ = —5_l2AF_l—ćf₂₂AF₂—&₃₁AF₃+5_m2AF *» 0, Sy — —ćf_l3AF_t —d₂₃AF₂—S₃₃AF₃+a,₃&J' = 0.

Dzieląc obie strony równań (3.12) przez AF, wykorzystując zależności (3.9), a następnie przenosząc na prawą stronę składniki ze znakiem ujemnym otrzymujemy

(3.13)

Gdybyśmy wydęli czworośdan mniejszy, ale o tej samej normalnej zewnętrznej do powierzchni ukośnej, wzory (3.13) nie zmieniają się (por. rys. 3.6b). Zmieni się jedynie treść, w tym sensie, że poszczególne średnie naprężenia będą wzięte w innych punktach leżących teraz bliżej punktu A. Obliczmy obustronną granicę wyrażeń (3.13) przy Ax, zmierzających do zera, ale zachowując stale ten sam wektor normalnej zewnętrznej

do AF (» =* const). W granicy otrzymamy równania, których forma jest identyczna z formą (3.13), jedynie występujące w nich naprężenia będą teraz w punkcie A(x_t, x₂, Zj). Naprężenia w punkcie A oznaczymy przez opuszczenie wężyka. Otrzymamy zatem:

(3.14)

“ ^ffll^a*l+<72₁a,₂+<T3i0t,j, +^aa^i+rjAji

Podkreślamy jeszcze raz, że występujące we wzorach '(3.14) napręże&śa są określoac w punkcie yf.

Zapisując drugi z warunków równowagi czworościanu, mianowicie przyrówacjąc do zera współrzędne AT, a następnie przechodząc do granicy przy Ax,-¹0 otrzymamy:

Ze związków (3.15) wynika, że naprężenia styczne w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych i prostopadłe do siebie są sobie równe. Warunek M = 0 i wynikające z niego wnioski wyprowadziliśmy w tym miejscu bez rachunków, szkicując jedynie drogę. Do warunku tego wrócimy nieco później, zaś teraz podkreślimy jedynie ten fakt, że równość naprężeń (3.15) oznacza symetryczność macierzy naprężeń. Uwzględniając symetrię, wzory (3.14) możemy zapisać w postaci ¹:

lub — wykorzystując umowę sumacyjną — w następującej skondensowanej formie

(3.n>

°¹i — ^aO^eŁwJ •

Naprężenia wzięte w punkcie o współrzędnych x_t, je¹, Xy są współrzędnymi wektora p, przyporządkowanego płaszczyźnie prostopadłej do osi x, przekroju bryły, naprężania zaś <r,i są współrzędnymi wektora naprężenia p, w tym samym punkcie, ale przy przecięciu bryły płaszczyzną o normalnej zewnętrznej r(a,_t, a_t2, a,j).

Pierwszy wniosek z zależności (3.16) będzie następujący: Jeśli danajest macierz naprężeń w punkcie oraz dane są współrzędne wersora normalnego dowolnej płaszczyzny, którą przecinamy bryłę, przechodzącą przez ten punkt, to za pomocą wzorów (3.16) obliczymy współrzędne wektora naprężenia, odpowiadającego temu przecięciu.

Wniosek ten zilustrujemy przykładem liczbowym; niech w ustalonym punkcie B dana jest następująca macierz naprężeń określona w układzie (xj):

Znaleźć należy współrzędne wektora naprężenia p, przy przecięciu bryły płaszczyzną przechodzącą przez punkt B o normalnej zewnętrznej

(rys. 3.7).

1

Zależności (3.16) często występują pod nazwą równań miumiil—, Jedynym apmaMaim tej nazwy jest to, że warunki równowagi czworościanu stanowiły punkt wyjścia do kk wyproawdmain.