113(1)

3) Stosując podstawienie je = 2sin/, otrzymamy dx = 2costdt, a więc

f \ (4—jc²)³ , f j (4—4sin²/)³    1 f cos⁴/

J —*-J ner

i r ctg⁴/ , i r . ,

“TJ    cts‘«/ctgr_

₌__Lętęłf.Lc-c    y^-j/²)⁵

20 ^r ‘ ^L 20^

4) Jest to całka różniczki dwumiennej

7= f—j_r. .......~= |V²(l+;c³)'

J X² l ' (l-j-x³)^s J

dx

5    772 — 1

gdzie m = —2, n = 3, p = —- oraz — --(-/> = —2 — liczba cał

kowita. Dlatego, w myśl reguły III, podstawiamy I+jc³ = jc³z³. Wtedy

z³-l

1+jc³

z³-l ’

X —

1

2?dz

(z³-!)³

(z³-l)

oraz

z²dz

r z³-!

dz —

(z³-!)³

-J‘

z ³<7z— j rfz =

'Z-f C — C-

1+2 z³

2?

- = C-

2+3x³

2x]/ (1+jc³)²

5) Zgodnie z regułą IV, stosujemy następujący schemat obliczenia całki

2xr—x—5

7 = f ■ ^X — etc = (/ł;e+7?) j x^l—2x +7) I ■ .......    . -

J j/;e²-2x    J j/j^-2*

Aby wyznaczyć stałe + 5, 7) różniczkujemy obie strony równości,

a następnie mnożymy wynik przez j .V²—2x ; otrzymamy 2x²-*-5 _=y4ł/^32jT₊₍^₊₅₎ x-l^ ₊

7)

Yx²—2x ’    \/x²—2x ‘ | x²—2x

2xⁱ—x—5 = A(x²—2x)+(Ax-\-B)(x—1)+7) =

= 2Ax?+(B-3A)x+{.D-B)

Porównanie współczynników przy jednakowych potęgach x po obu stronach ostatniej równości prowadzi do układu równań

2A — 2,    3-3A = -1, D—B = —5

Rozwiązujemy ten układ: A = 1, B = 2, D = — 3 i wartości A, B, D podstawiamy do schematu całkowania ; mamy

1= (x+2)\/x?—2x —3 f —Ą^X^

J y X²—2x

In j X— 1    l)²— 1

Ostatnią całkę sprowadzamy do wzoru 11

r dx _ r d(x— 1)

]/x²—2x J ]/(x—l)²—1

i po podstawieniu do poprzedniej równości, otrzymamy ostatecznie I = (jc-f-2) y/ćc²—2x—;31n|x— l+j/^²—2x\-\-C

1    dt

6) W myśl reguły V podstawiamy x— 1 = —, skąd =---j- oraz

l    t

J Vx*=2x ~ J y(x—- ]

dt

I =

r dx	C
J (x— lj^l—X^2	y^1,/	' l + 2t
	* V
r • kl*	r dt
J t]/—l—2t	1 7/—1—21

uwzględniliśmy tu, że y t^z = |f| oraz że funkcja podcałkowa jest określona w przedziale — 1 < x < 1, wobec czego x— 1 < 0 i t < 0, a więc |/| = —t. Następnie sprowadzamy całkę do wzoru 1

/ = /(-1-20"*=-4/ (-l-20“^Td(-l-20 =

=-(-i-20^ł+c = c- j,/-i-BĄf - c-

Obliczyć całki:

539.    fxj/3.—X dx

r dx

^54L J yWW

r dx

J (1+TYx)\'x

SW^x-^

' I

538

229