116(1)

(?/' Przy przestaw ieniu granic całka zmienia znak na przeciw ny

b    a

J f(x)dx = — J f(x)dx

a    b

(2) Całka o tej samej górnej i dolnej granicy jest równa zeru

a

jf(x)dx = O

a

(3: Przedział, w którym obliczamy całkę, wolno dzielić na części, przy czym

b    c    b

J f(x)dx = J f(x)dx+ jf(x)dx

a    a    c

01 Całka sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych składników

b    b    b    b

f L/i (*)+/2O) —/>(*)] dx = J f (x)dx + J f₂(x) dx - f f₃(x)dx

a    aa    *

(5) Czynnik stały wolno wyłączyć przed znak całki

b    b

f cf(x)dx — c J f(x)dx

a    a

Przy obliczaniu całek oznaczonych, w przypadku gdy można wyznaczyć ■odpowiadające im całki nieoznaczone, stosujemy wzór Newtona-Leibniza

(*)

jf(x)dx = [\f(x)dx]^ba = [F(x)}l = F(b)-F(a)

który mówi, te całka oznaczona równa się różnicy wartości całki nieoznaczonej wziętych odpowiednio dla górnej i dolnej granicy całkowania.

589. Obliczyć całki:

3    4

1) | 3x?dx    2) | \i-\-e*)dx

3) f —=

_J )/3/+4

2a

4) | (x+3) sin axdx

Rozwiązanie. Stosując wzór Newtona-Leibniza (*) i korzystając

z własności całek oznaczonych, otrzymamy

3    3

1)    J 3x²dx = 3 j x²dx = [*³]³ = 3³—2³ = 19

2 2

⁴    ,    _x.    ⁴    4    ^

2)    | (l+e⁴)<& = j dx+4 I e~*d{^X\=[x+4e^]*₀ = 4+4e~4=4e

0    o    0    '

7    7

r dt 1 (•    _ A

^3} J yJrW^T f <³'+⁴> ²^+⁴) =

-1 -1

8

3P-U—3-

4) W tym przykładzie, aby obliczyć całkę nieoznaczoną stosujemy wzór na całkowanie przez części J udv = uv~Jvdu.

Podstawiając u — x^Jr3, dv = sinaxdx, otrzymamy du = dx oraz

1 r .    1

® — I sin ax dx = — ( sin ax d(ax) — —— cos ax ^J    J    a

TI

2 a    ^

J 0+3) sin<JXfifc=^- ^x±lcosax+ ± j cos axdx^ ²° =

f x-\-3    1 .    12<r

=---_a~^COSflJli:+ "2 sinax : -

1

3 l+3a

Obliczyć całki oznaczone:

590.	5 r dx	591.	r dz
	J 3x—2		J (2z+l)^3
592.	2 f ^dt . J t^2+5t+4	593.	f x+3
	a		7t
594.	I xcos — dx J a —a	595.	r x 1 cos— cos ć>

235