1 (10)

Ciało liczb zespolonych

17

•one w definicji 1.12. strukturę ciała.)	= a—bi będziemy nazywali liczbą sprzężoną do z. Liczby a i b stanowią odpowiednio częśc rzeczywistą i część urojoną liczby z. Czasami będziemy stosowali zapis
^+e> ^d+f) = x+(y+z).	a = Re z, b — Im z. 1.31. TWIERDZENIE. Jeżeli ziwsą liczbami zespolonymi, to: a) z+w — z+w;
f+ade+bce) = (a, b)'	b)    źw = źvv; c)    z+z — 2Rez, z—z = 2i Imz; d)    zź jest dodatnią liczbą rzeczywistą (z wyjątkiem z = 0). Dowód, a), b) i c) są całkiem oczywiste. Dla dowodu d) napiszmy z = a+bi i zauważmy, że zź = a^2+b^2.
i z liczb rzeczywistych i możemy określić	1.32. Definicja. Jeżeli z jest liczbą zespoloną, to wartością bezwzględną liczby z, którą oznaczymy |z|, nazywamy nieujemny pierwiastek kwadratowy z zz; to jest |z| = (zz)^1/2. Istnienie (i jednoznaczność) |z| wynika z twierdzenia 1.21 i części d) twierdzenia 1.31. Zauważmy, że w przypadku kiedy x jest liczbą rzeczywistą, mamy x = x, a więc W = yjx^2. Zatem |x| = x, jeżeli x > 0, oraz |x| = — x, jeżeli x < 0.
l “ (ac—bd, ad+ bc)+	1.33. TWIERDZENIE. Niech z i w będą liczbami zespolonymi. Wtedy: a)    |z| >0,o ile tylko z # 0; |0| = 0; b)    |ź| = z; c)    |zw| = |z| |w|; d)    |Rez| < |z|;
t,0)+{b,0)=*(a+b,0),	e) |z+w| < |2|+|w|. Dowód, a) i b) są oczywiste. Niech z = a+bi, w = c+di, gdzie a, b, c,d są liczbami rzeczywistymi. Wtedy
•ją te same własności c identyfikować (a, 0) b jako podciało ciała	|zw|^2 = (ac—bd)^2+(ad+bc)^2 = (a^2+b^2) (c^2+d^2) = |z|^2|wj^2, czyli Jzłv|^2 = (|z) jw|)^2. Teraz c) wynika z tezy twierdzenia 1.21. Dla dowodu d), zauważmy, że a^2 ^ a^2+b^2, a więc
ych bez jakiejkolwiek teraz, że notacja (a, b)	|a| = ^/a^2 < Ja^2+b^2. Dla dowodu e), że zw jest liczbą sprzężoną do zw i wobec tego zw+źw = 2 Re (zw)- Zatem
= a+bi.	|z+w|^2 = (z+w) (z+w) = ZZ+ZW + ZW+ ww = = |z|^2+2Re(zw)+|w|^2‘< |z|^2+2|zw|+|w|^2 = = lz|^2+2|z||w|+|w|^2 = (|z|+|w|)^2, i e) wynika stąd przez wyciągnięcie pierwiastków kwadratowych. 1.34. NOTACJA. Jeżeli xt,...,x„ są liczbami zespolonymi, to napiszemy
»liczbę zespoloną z —	n Xł + X2+...+XB= Sx;. J«ł
	2 - Podstawy analizy matematycznej