1 (40)

46

A Ciągfci szeregi liczbowe

' e) lim s_nt_n — sf, -

nr>cQ

$ las i/s„ m 1(s, jeśli tylko s_H y* 0(»*» 1, 3, .„}i s # ft

Dowód, a) Weźmy e > 0; wówczas istnieją liczby całkowite JV_t iN₂ takie, że n >    impli-

kuje(s„-s| < §&$ 5*J4implikuje|t„-t| < JeżeUiV,== max(iV_ł,iV_a), ton > iV implikuje]

' j(S_n4t„)'-(s+0l < |s„-sf+|<„-t[ < 6»

To dowodzi a). Dowód twierdzenia b) jest trywialny, c) Posłużymy się tożsamością

(W

^Bfcterocnie. jeśli;

£h it ^ Not

^pi x,->x. W ten sj ■ Twierdzenie b) w

Iju	J		s„—s
4	, 1		sns

(2)

Dla dowolnego s > 0 istnieją liczbycalkowite N_u iV₂: takie, że n |% implikuje |s_B-s| <3 < h > N₂ implikuje \t„—t\ < yfs.

Jeśli weźmiemy N = max (Nu N₂% to n > N implikuje

^ąd Hm (s„-,s)(4w) = 0.

• Jf^OO

Stosując teraz a) i b) do tożsamości (i), otrzymamy, że

lira, for,,-st) = 0.

d) Wybierając m tak, aby |s_B-śj < £|sj dia n > m, widzimy, że

iAii > fet (« >m).

Dla danego e 0h 0 istnieje liczba całkowita N > m taka, że dla n ^>,N mamy

14-4 i i\s\h.

Stąd dla n > iV otrzymujemy

3.4. TWi[ERDZEmE a)2iató2ff^,iex_B«J?*(n*l,2i3ji..)orflZX_B«(o^i.,_Joy_i a<jgf {x_BJ| jest zbieżnydo x — (9!₁,... , a_k) vv£edy i tylko wtedy, gdy

Hm ap = uj (! ’<;/ 4 k)ó

b) Załóżmy, że {x^}, {y„} są ciągami w R*, {/?„} jest ciągiem liczb rzeczywistych i X„-*X, y„-»y,j8^^. Wówczas

lim (x„+yj m X4-y,    lim x_B-y„ = #|S Hmp_n\_n = /7x.

Dowód, Jeżeli x_B-*x, to z nierówności |«;_B—a^| < |x_n-fcj, które wynikają bezpośrednio z definicji normy w R^k, spełniona jest równość (2).

■    15- Definicja. ] Hhoach. dla któryi ■l-Jeśli ciąg {pjy

■    fet oczywiste, że ■n r do p. Pr zeprc

I 14. Twierdzeni Bpami podciąg zbiei I b Każdy ogranie

■    Dowód, a) Niech liż i ciąg {«;} speł Bkzymany w ten spo: B Jeżeli E jest niesk we X. Wybierzmy n, Bcy twierdzenia 2.21 Łowany ciąg {pj j B1) Własność ta w podzbiór R^k jest zawa [ 17. TWIERDZF.NI Korzy domknięty pod T Dowód. Niech E kędzie punktem skup

Wybierzmy Bj tak punkt i nie ma czego dt Ponieważ q jest punk

dla i = 1,2,3,... Ozm