1tom206

8. AUTOMATYKA I ROBOTYKA

rfr)

■ W(s)

(8.6)

414

Do pierwszej grupy zalicza się opis czasowy i opis częstotliwościowy, a do drugiei — opis w przestrzeni stanów.

Opis czasowy reprezentują: równanie różniczkowe łączące wyjście z wejściem lub odpowiadający mu układ równań różniczkowych niższych rzędów; charakterystyki czasowe: impulsowa i skokowa. Opis częstotliwościowy natomiast reprezentują: trans-mitancja (zwana również transmitancją operatorową) i transmitancja widmowa; charakterystyki częstotliwościowe: modułu, fazy oraz ampłitudowo-fazowe liniowe i logarytmiczne [8.1; 8.2; 8.31]. Wyniki projektowania przy użyciu opisu czasowego i częstotliwościowego są łatwe do zinterpretowania fizycznego.

Do drugiej grupy zaliczamy opis w przestrzeni stanów (równania stanu). Jest to najbardziej uniwersalny sposób opisywania układów dynamicznych. Jeżeli opisywany układ dynamiczny jest sterowalny i obserwowalny [8.1; 8.2; 8.6; 8.11], to rozpatrując stań wejść i wyjść, jego opis w przestrzeni stanów jest równoważny opisowi czasowemu lub częstotliwościowemu.

W wielu przypadkach do celów sterowania wystarczy określić jedynie najistotniejsze cechy obiektu dynamicznego. Najczęściej, przybliżony opis obiektu sterowania pozwala uzyskać bardzo dobre rezultaty sterowania znacznie lepsze niż przy wykorzystaniu dokładniejszych modeli obiektu sterowania [8.5].

8.3.2. Równania różniczkowe, transmitancja operatorowa, transmitancja widmowa, równania stanu

W ciągłym, liniowym i stacjonarnym układzie dynamicznym typu SISO (rys. 8.2), o parametrach skupionych, zależność wejścia od wyjścia opisuje równanie różniczkowe zwyczajne

d"    d    d^m    d

a„—y(t)+ - •+-«! — J'-(0 + «o>'(0 = ^bm-^w(t)+ ... +6, —w<t)+b_oy(0.

Identyfikacja układu polega na wyznaczeniu wartości n, m oraz współczynników ai,bjVi,j. Równanie (8.5) analitycznie uzyskuje się opisując równaniami (różniczkowymi i algebraicznymi) działanie fizyczne poszczególnych elementów układu.

W porównaniu z równaniem różniczkowym (8.5) bardziej skondensowaną formą opisu układu dynamicznego jest transmitancja. Na jej podstawie można łatwo wyznaczyć przebieg sygnału wyjściowego y(t) wywołany dowolnym wymuszeniem w(t) [8.1; 8.2]. Transmitancją jest nazywany iloraz transformat Laplace’a sygnału wyjściowego i sygnału wejściowego

G(s) = przy czym: 7(s) = Sf[y{ty]; W(s) = ŚT[w(tj]; s — operator Laplace’a. Transmitancja zależy wyłącznie od struktury układu i jego parametrów. Istnieje ścisły związek wzajemnie jednoznaczny między transmitancją (8.6) a równaniem różniczkowym (8.5). Transmitancje G(s) można wyznaczyć, dokonując przekształcenia Lap!acc’a równania (8.5) przy zerowych warunkach początkowych

7(s) Z a_jSJ = W(s) Z V    (*-⁷⁾

j—O    i=O

a stąd

G(s) =

m.

M(s) ’

m =

M(s) =

j=o J

(8.8)

Transmitancje podstawowych członów URA są następujące:

—    proporcjonalnego: G(s) = K, K — wzmocnienie;

—    inercyjnego T rzędu: G(s) = K/[ 1 +sT], T— stała czasowa;

całkującego: G(s) = K/s;

Z inercyjnego 11 rzędu: G(s) = K/[(1 +sTj)(l +sT₂)];

oscylacyjnego: G(s) = Kj[\ +2(7S+ T.s²], [ — współczynnik tłumienia. T— okres drgań własnych;

__ opóźniającego: G(s) = cxp(-sTJ, T₀ — czas opóźnienia;

___ różniczkującego rzeczywistego: G(s) = sTJ(\ + sr), T_d — czas różniczkowania, r — pasożytnicza stała czasowa;

__ korektora I rzędu: G(s) = (1 +sTj)/(l + sT₂) typu LF. AD, jeśli 7j > T₂ lub typu LAG, jeśli T\ < T₂',

_ regulatorów P i PID: G(s) = K_r i G(s) = /C,(l + KJs+sTJ;

__ regulatorów PI i PD: G(s) = K_r(l + KJs) i G(s) = K_r(l + s7]).

Charakterystyki częstotliwościowe są związane z transmitancją widmową

G(j«) =    = G(s)|_s=jffl    (8.9)

Można ją wyznaczyć, stosując wymuszenie harmoniczne w = A „,cos(cof) i mierząc w stanie ustalonym parametry A Ma) i ę(ca) odpowiedzi y(t) = A_f(a>) cos(oj( + <p(oj)) [8.28]. Zatem /l(cj) = |G(jw)| = AMa)iAJto). Transmitancja widmowa (układu liniowego) zależy tylko od struktury i parametrów układu, który opisuje, nie zależy od amplitudy wymuszenia A_w

G(jw) = P(to)+}Qp) = A((aW^rA'A    (8.10)

Funkcje P(cd), Q(ca), A (oj) i <p((o) nazywa się charakterystykami częstotliwościowymi. Można je wyznaczać eksperymentalnie [8.6; 8.28; 8.31].

Opis w przestrzeni stanów składa się z dwóch równań macierzowych: równania stanu i równania wyjścia

i(t) = Ax{t)+Bw(t); y{t) = Cx{t)+Dw(t)    (8.11)

przy czym: x,w,y — wektorowe zmienne stanu, wejścia i wyjścia; A, B.C,D — macierze, o wymiarach odpowiednio: nxn, nxp, qxn \ qxp (p, q — liczba wejść i wyjść układu dynamicznego).

Dla określonego układu dynamicznego można zdefiniować różne zmienne stanu x„. Zmieniają się wtedy macierze A, B,C, D natomiast równanie (8.5) pozostaje nic zmienione (łączy to samo wejście z tym samym wyjściem). Matematycznie odpowiada to liniowemu przekształcaniu zmiennej stanu [8.6; 8.11]. Wprowadzając fazowe zmienne stanu x,(f),x,(r), ...,xJt) (takie, że każda następna jest pochodna poprzedniej) i dla równania (8.5) definiując wyjście y(t) jako

y(0 = —Y h_i 1x_j(t); m<n    (8.12)

^an i = 0

otrzymuje się równoważny opis w przestrzeni stanów (macierz D = [0])

*(i) = Ax(t)+Bw(t); y(t) = CxU)    (8.13)

Przy czym p		= 4	= 1, a macierze
	ro	1	0	0	0 ...	0	o 1		roi
	0	0	1	0	0 ...	0	0		0
A =	0	0	0	1	0 ...	0	0	; « =	0
	0	0	0	0	0 ...	0	1		0
	L*i	*2				• «n-l	an		1

^C~[^ho b, ... ń„_,]/a„

^8dZp ~^ao/'^an> «2 = —aja_n,...,a„ =

1 rzejścia odwrotnego, od opisu (8.13) do transmitancji, dokonuje się następująco:

^Gfr) = C(sl—A)~ ^lB

8dzi_e ;.

(8.14)

diag [1],