1tom207

8. AUTOMATYKA 1 ROBOTYKA 416

Wielomiany licznika i mianownika transmitancji (8.8) mają postać

L(ś) = adj[C(s/—/<)^_1fi], M(s) = det(sl-A)    _(g]5)

Jeżeli układ ma kilka wejść i kilka wyjść, to jego opis w przestrzeni stanów stano wią równania (8.11). W dziedzinie transmitancji rozpatruje się transmitancję macie rzową, której elementami są transmitancję wiążące poszczególne wejścia z w-yjściamj [8.1; 8.2; 8.6; 8.11]. Opis typu (8.5) natomiast zawiera tyle równań różniczkowych ile jest wyjść.

Dla przykładu rozważono silnik prądu stałego z magnesami trwałymi jako obiekt dynamiczny (rys. 8.13), dla którego wyznaczono równania różniczkowe, transmitancję i równania stanu. Rozpatrywano go dwojako: jako element dynamiczny typu SISO (rys 8.13b) oraz jako element typu MIMO o dwóch wejściach i dwóch wyjściach (rys. 8.13c)

Rys. 8.13. Silnik prądu stałego z magnesami trwałymi rozpatrywany jako układ liniowy; a) schemat ideowy; b) warianty opisu typu SISO; c) wariant typu MIMO i jego budowa wewnętrzna

Pomijając tarcie coulombowskie i nieliniowości komutatora, otrzymuje się liniowy opis matematyczny

u,(t) = K_eco(t)+(R, + L_lD)i,(ty, m_e(t) = KJ,(t)    (8.16)

m_h(t) = (K_d + JD) _m(t);    a>(t) = D [«(«)]    (817)

gdzie: u,,i,,R„L, — napięcie, prąd, rezystancja i induktywność uzwojenia wirnika: cu, m_e, m_h — prędkość kątowa, moment napędowy i hamujący; K_e,K_m — stała sem i staw momentu silnika; D = (d/di) — operator różniczkowania względem czasu; a — kąt obrotu wału; K_d — współczynnik tarcia lepkościowego; J — moment bezwładności sumaryczny na walc silnika.    >.

Biorąc pod uwagę wyjścia w postaci m i a oraz wejścia w postaci u, i m_h, z równań (816) i (8.17) otrzymuje się

a₂<o^m(t) + a_lcb(t)+a₀co(t) = &_o“,M-Ci">»(0-c_o'w*W    ^(8]S)

a₂aⁱ³\t)+a, a^<2,(£)+a₀d(t) = b₀u,(l)~ c^t)-c₀m_h(t)

przy czym: a₂ = L,J, a, = R,J+L,K_d, a₀ = K_mK_e + R,K_d, b_(l = K_m, c_t = L_r c₀ =

Transmitancję Gj(s).....G₄(s) (rys. 8.l3b) otrzymuje się transformując równania

i (8.19). Przy m_h — 0 otrzymuje się transmitancję G, i G, wg wzoru (8.20), natomiast pw u, = 0 — transmitancję C₂ i G₄

G_x(s) = m(s)/u,(s);

G₃(s) = a(s)/u,(s);

G₂(s) = a>(s)/m_h(s) G₄(s) = cc(s)/m_h(s)

(8.20)

Transmitancja macierzowa

(8.22)

a₂s²+a₁s+a₀’

___.

[a₂s² + a,s-f-a₀],s ’

G₂(s) =

GM =

[Cti + Cp]

a₂s²+«iS+^ao

-[ClS + C₀]

[«₂s²4-«iS + a₀]s

(8.21)

GJs)

GM

<?(*) =

G₂(s)

GM.

Rys. 8.14. Struktura wewnętrzna modelu matematycznego silnika prądu stałego z magnesami trwałymi

Schemat strukturalny silnika (rys. 8.14) rysuje się na podstawie transformat Laplace’a równań (8.16) i (8.17). Równania stanu silnika (8.23) i wyjścia (8.24) wyznacza się na podstawie

d	r i, (oi			-4/4	-KJL,		on	0(0
	“(0		=	KJJ	-KJJ		0	co(t)
dć	La(oJ			L o	1		0_	L a(r)
								\
',(0			M	0 0"			'0	0"
"MO			K	* 0 0			0	0
co(t)		=	0	1 0	co(0	+	0	0
«(0			0	0 1	- a (0-		0	0
jn	(OJ		K	M o lj			0	-OJ
	\			V	%	r

1/4

O

. O

równań (8.16) i (8.17), zakładając zmienne stanu silni zmienne wyjściowe jako: y_y = i„ y₂ = m„, y₃ = co, y₄ -

MO

v.

O

-\/J O .

B

«x(0

_m_h(t)_

(8.23)

a:    x

■■y_s = ^ms -■

= co, x₃ = cc, oraz

: m—m_h.

8-3.3. Charakterystyki czasowe i częstotliwościowa

Używanymi formami graficznego opisu układów- dynamicznych są charakterystyki ?^asowe: skokowa i impulsowa, oraz częstotliwościowe: modułu, fazy i amplitudo-^o-Fazowa (liniowe i logarytmiczne) [8.1; 8.2; 8.6; 8.11; 8.28; 8.31; 8.37]. Charakterystyka •. okowa h(t) jest odpowiedzią układu dynamicznego na wymuszenie skokowe w(t) = 1 (r). i ^02lJ^a J4 wyznaczyć eksperymentalnie [8.9; 8.28] albo analitycznie jako oryginał ^ns‘°rmaty charakterystyki skokowej [8.1: 8.2; 8.11] H(s) = PP(s)G(s), MK(.s) = 1/s

^ńW = ir->[H(s)]    (8.24)

funk ~?^ktery^styka impulsowa g(i) jest odpowiedzią układu na wymuszenie w- postaci różn ^P'^raca- Można ją wyznaczyć analitycznie jako oryginał transmitancji albo •czkując zarejestrowaną charakterystykę skokową (jako nachylenia wykresu /i(r))

9(0 = se~¹ [G(s)] albo g(t) = d [h(t)]/dt

(8.25)

^osu^^ar?kterystyki częstotliwościowe można wyznaczyć eksperymentalnie. Najczęściej ^Je się charakterystyki logarytmiczne modułu Lm(to) i fazy <p(<o) oraz charakterystyki

^radnilc inżyniera elektryka tom 1