1tom209

8. AUTOMATYKA I ROBOTYKA 420

Rys. 8.17. Identyfikacja metodą odpowiedzi skokowej: a) obiektów statycznych; b) obiektów astatycznych S — styczna do krzywej w punkcie przegięcia P; A — asymptota; Aw — aplituda skoku wymuszenia

Metodykę postępowania identyfikacyjnego przy zastosowaniu impulsów, prostokątnego lub trapezowego, można znaleźć w publikacjach [8.26; 8.29],

Przy mierzeniu charakterystyk częstotliwościowych interesujący jest tylko stan ustalony przebiegu y(t) wywołanego wymuszeniem harmonicznym [8.6]. Z zarejestrowanych wykresów odczytuje się wartości amplitud i przesunięć fazowych i dla kolejnych pulsacji co oblicza się GQco) = zl(co)exp(j(p(co)).

8.4. Wymagania stawiane układom automatycznej regulacji

8.4.1. Stabilność, zapas stabilności

Stabilność jest fizyczną cechą układów dynamicznych i decyduje o ich przydatności. Układ jest stabilny, jeżeli wytrącony z równowagi, po zniknięciu pobudzenia powraca do poprzedniego stanu równowagi.

Stabilność można badać eksperymentalnie, obserwując odpowiedzi czasowe na krótkie impulsy (jeżeli eksperyment jest dopuszczalny), lub analitycznie — obliczając g(0 lub bieguny układu albo stosując kryterium stabilności, jeżeli jest znany model matematyczny badanego obiektu lub układu. Do metod eksperymentalnych należy zaliczyć badania symulacyjne.

Matematycznie układ o transmitancji G(s) = L(s)/M(s) jest stabilny, jeżeli wszystkie miejsca zerowe jego wielomianu charakterystycznego M(s) mają ujemne części rzeczywiste (leżą w lewej półpłaszczyźnie — LPP) [8.1; 8.2; 8.6; 8.11; 8.31], Przy opisie w przestrzeni stanów jest to równoważne warunkowi, by wartości własne macierzy A leżały w Lly; Przedstawimy trzy uzupełniające się kryteria badania stabilności ciągłych uklado)' liniowych: analityczne kryterium Hurwitza oraz dwa kryteria graficzne — Michajłow i Nyąuista. Kryteria badania stabilności układów impulsowych można znaleźć w pracac [8.1; 8.4; 8.6; 8.11].    . J

Kryterium Hurwitza ma zastosowanie do badania układów o znanym wielomiany charakterystycznym M(s), kiedy ma on postać potęgową M(s) = a₀+a₁s+t‘i^s '

+ a₃.ę³+ ...    a„s".

Według Hurwitza liniowy układ dynamiczny jest stabilny, jeżeli;

1)    wszystkie współczynniki a₀,...,a„ są dodatnie i jednocześnie    ₀₍j

2)    wyznacznik Hurwitza A„ i wszystkie jego podwyznaczniki główne są większe zera!

(8.26)

£lemeo^tal™ wyznacznika A„ są współczynniki wielomianu M(ś), czyli

A2	A3{ .. . .	1 e <
/	o ! 0	% \ ... 0 1	0
<V
dn — 3 ^an- 2		... o !	0		^n—1
________1	i	I			a„-3 a„
0„-s ^an-4	«n-3 1 <1.-1 ■ 1	. . . . 1 1		’
O ' 1 l 1 o | 1 1 1	1 1 1 1 O 1 I 1 1 o	i ... 0	«o	; A„ = a	1 c < O

Warunek 2) sprawdza się dopiero po spełnieniu warunku formalnego 1). Badanie wyznaczników Ai i A„ nie jest potrzebne. Wystarczy zbadać jedynie podwyznaczniki A₂,...,A„_₁. Dla przykładu zbadano stabilność układu o transmitancji

2s² + 3s + 10

^G(S)" 5s⁴ + 3s³ + 2s²+s + 4

Wielomian charakterystyczny M(s) = 5s⁴ + 3s³H-2.s²+s+4 rzędu n = 4 ma współczynniki: a₀ = 4,a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 5 dodatnie, zatem warunek 1) jest spełniony, wobec tego sprawdza się warunek 2). Należy zbadać (n—2) = 2 podwyznaczniki: (A, i A₃).

A, =

3	5 0
1	2 3	;
0	4 1
1A2	1 •fc. >—*■ U)	0 3

1-9 = -8 <0!

3 5 1 2

: 6-5

>0;

Warunek 2) nie jest spełniony, zatem badany układ jest niestabilny. Potwierdzają to miejsca zerowe wielomianu M(s), obliczone numerycznie: sj ₂ = 0.46251+j0,7425 > s₃.4 = - 0,76251 ± j0,68116956.

Jeżeli wielomian charakterystyczny zawiera czynniki typu e~^s j° i układ jest wielopę-tlowy, to metodą Hurwitza nie można zbadać jego stabilności. Można to zrobić za pomocą kryterium Michajłowa. Aby efektywnie stosować to kryterium, potrzebny jest program komputerowy do obliczania i rysowania hodografu wielomianu M(jen) przy a> e [0, oo) (np. Program MathCAD [8.20]).

Według Michajłowa wielomian charakterystyczny M(s) jest stabilny, jeżeli Aarg[M(jo,)] _ ₊ nnj2 p_rZy zmianie w w zakresie od 0 do oo, przy czym n — rząd układu.

Badanie stabilności układu o transmitancji G(s) =-——'⁺, ' ,, przy a, = 1,2 lub 3,

1 +<2₁s+s² + 2s³

Przedstawiono na rys. 8.18a. Układ jest trzeciego rzędu, transmitancja ma postać