222

442 Rozwiązania i odpowiedzi

442 Rozwiązania i odpowiedzi

6.153. z' = <?^3x(30x² + 20x — 3). 6.155. y'=(l +k²) e^k ar“^{in x} .

6.157. y'= ¥ x²(x ln 3 +3). 6.159. /= 15 • 10^3xln 10.

6.161. x^0, y' = — x

6.152. z'=t)V.

4x² + l

6.154. x>0, z =-_pc^x.

4x _y/x

6.156. / = 5^xln 5+2* ln 2.

6.158. y —2 • 7^X ln 7.

6.160. a>0, y' = fl^2x xⁿ~ *(2x ln a + n).

-1

7+3

6.162. / = 70- 5^10xln 5.

6.163. x^ —3, z' =

6.164. x#0, y' = —.

6.165. s' =

Vr² + r

6.166. *#2, z' =

6.168. f>|2|, / =

x—2 -2

6.167.    ±1, s' = -

l-r

7t²-4'

6.170. a² cos² x#b² sin² x, y' = -

6.169. x/0, x=st\, y'—

x ln |x| ’

2 ab

a² cos² x— b² sin² x '

6.171. cos x^0, /=--

cos x

6.173. cosx^0, / =-.

cos x

6.172. /=-tg$x.

6.174. y'= 8 ctg ⁵x cos x .

6.175.    x^0, x#l, / = --r—•

(1 x) yx

-2

6.176.    y = --=. Wskazówka. Usunąć niewymierność z mianownika.

Vx² + 1

6.177.    y' = ctg x.

6.178.    x>0, x^l, y'—

6.180. / =

d-x)Vx' 1—ln(lnx) 1 —ylnx x (ln x)^{2 =} x (ln x)² *

6.179. /=-

a

x(a+x)

6.i8i. / = -

ln a

x (ln x)²

6.182. x>0, y' = 5x^Sx (ln x + l).

6.183. x>0, /=-30x^_3x(lnx + l).

6.184. x/0, y = x^si" *^L?_+Cos x ln x^j. 6.185. y' = 3x^{cos x} ^--^S -* — sin x ln x j ■

6.187. x>0, y'=x* (1—lnx).

6.188.    a>0, y'=xf^aa~¹ Ino.

Wskazówka. a = e'^na, a^{,n x} = (e^lnx=(e^,nX)^,n<,=(x^,n*).

6.189.    y = 5^{ln 2} ln 5x^{ln 5} ”¹ .

6.190.    y = 0. Uwaga. Pochodna / = 0, ponieważ y=x^llla x=(e^{,n x})^1/ln x—e

(cos² x    \

--sin x ln sin x ) •

sin x    )

)■

6.192. x > 0, y'=(arctg x)^x I ln arctg x + -_T—

(1+x ) arctg x

6.193.    tgx>0, y=(tg x)^{sm x}(—-—hcosxlntgx\

\cos x    /

— /I    sin x    \

6.194.    tgx>0. /=(tgx)^cos* --2 "h—r—lntgx)

\sm x cos x cos x /

/ln cos x \

( ~I--H )

\ sin x )

6.195.    cosx>0, sinx#0, y'= — (cos x)^{c,g x}<

6.196.    y = e^x+“.

6.197.    Jeżeli x>0, to x=e^,nx, y=x‘*=(e'^{B x})‘*=e'* ^la *,

y'=e^e*^lax(e^x\nx+e^x    ln * e^x^ln x+-^=e*^+e* ^{,n x}^ln x+^,

inaczej:

:ej:

ln y = e^x ln x, (ln y)' = — -e^x ^ln x + —    y = ^^ln x + —^ = e'*e^x^ln x+—

_xx ex ln x in x

6.198. Jeżeli x>0, to x=e^lnx, x^x=e^xlnx, j> = x^x'=e'

_y, _{= £}ex ln x x_(gx ln x_Jn xy _ ^ / _gx ln x^ j_n

(e^x ,n X(x ln x)' lnx+e^xlnx^ =

albo

inaczej:

=x^xV^lnx^(lnx)² + Inx+_^ = x^x+xł' ^(i_n*)²+lnx+^,

v'    1

lny = x^xlnx,    (ln y)' = —=(x^x)'lnx + x^x—,

v    x