223(1)

Dzieląc tę równość obustronnie przez v i całkując, znajdujemy

1.5 f ^1	arc tg y dv	_r*	Z)^2 3
J V 1		L4	4^2 • 3^2 + 4^5
1,5-	1 1,5^2— 1	, 1,5^5— 1	1,5^7-1 ,
4	4^2 • 3^4	' 4^5 • 5^4	4^7 .. 7^2 1

•r-

« 0,125 00-0,004 12-f0,000 26—0,000 02+ ...

W wyniku otrzymaliśmy zbieżny szereg przemienny. Przybliżoną wartość całki, o żądanej dokładności, otrzymamy sumując trzy początkowe wyrazy szeregu: /₃ ~ 0,1211, bowiem wartość bezwzględna czwartego wyrazu jest mniejsza od 0,0001.

1024. Posługując się szeregami otrzymanymi przy rozwiązaniu zad. 1011, 1012, 1020 oraz prawami dodawania i mnożenia szeregów potęgowych, rozwinąć w szeregi potęgowe następujące funkcje:

1 -\-x

1) xcos2* 2) lny— —    3) (1-f-^jaretg.*;

4)

2—.v

5)* e^xsinx 6)* (l-[-e^x)⁴

1025.    Za pomocą szeregów, obliczyć z dokładnością do 0,0001 następujące wyrażenia: 1) cos 0,3; 2) sin 0,4; 3) aretg 0,2:4))/ 30.

1026.    Rozwijając funkcję podcałkową w* szereg Maclaurina i całkując wyraz po wyrazie znaleźć rozwinięcia w szereg następujących całek:

1) J x*axctgxdx 2) j y dt    3) J ■

^la(lM_dx

„fu

1027. Za pomocą rozwinięcia w szereg, obliczyć z dokładnością do 0,001 wartości całek:

§ 6. Szeregi liczbowe i potęgowe o wyrazach zespolonych

Szeregiem liczbowym o wyrazach zespolonych nazywamy szereg

+ oo

^Cl + ^C2 + ••• +C/I+ ••• — ^

gdzie:    = a_v+ib_{, c₂ = a₂+ib₂, ..., c„ = a„-\-ib„ są liczbami zespolony-

mi (/ = ]/"—!; a\, b₂, a₂, b₂, ...,a_n, b_n,... — liczby rzeczywiste).

Zbieżność i suma szeregu o wyrazach zespolonych są określane tak samo, jak dla szeregów liczbowych o wyrazach rzeczywistych (§ 1). Warunek lim r„ = 0 jest warunkiem koniecznym (ale nie dostatecznym) zbieżności.

Natomiast lim c„ # 0 jest warunkiem wystarczającym, aby szereg był rozbieżny także w dziedzinie zespolonej.

Badanie zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach zespolonych można sprowadzić do badania zbieżności dwóch szeregów o wyrazach rzeczywistych. Mianowicie szereg o wyrazach zespolonych

(1)

jest zbieżny, jeśli zbieżne są szeregi o wyrazach rzeczywistych

(2)

Jeśli przy tym szeregi (2) są zbieżne do odpowiednich sum A i B, to szereg

(1)    jest zbieżny do sumy C = A+iB. Jeśli jednak chociażby jeden z szeregów

(2)    jest rozbieżny, to i szereg zespolony (1) również jest rozbieżny.

Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny,

jeśli zbieżny jest szereg o wyrazach rzeczywistych dodatnich

(3)

utworzony z modułów jego wyrazów. Jeżeli natomiast szereg (1) jest zbieżny, a szereg (3) rozbieżny, to szereg (1) nazywa się zbieżnym, ale nie bezwzględnie.

koniecznym) zbieżności szeregu,*co oznacza, że jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on zbieżny.

Zbieżność bezwzględna szeregu jest warunkiem dostatecznym (ale nie

449

^ Metody rozwiązywania zadań

0,5

0,2

1

I cos dx    2)    | YT+x^rdx 3) f — dX

2

0,25    0,125

3

| łn(l-)-1 .y) dx 5)* | j/3c cos⁴xdx

4

o    o    o ^X