224(1)

Przy badaniu zbieżności szeregów zespolonych można korzystać z^kry-1 ' 1 j

terium d’Alemberta: jeżeli lim — - — = q, to dla o < 1 szereg jest zbieżny

(przy tym bezwzględnie), a dla q > 1 — rozbieżny.

Niech z oznacza zmienną zespoloną, to jest wielkość, która może przyjmować różne zespolone wartości liczbowe, czyli z = ¹+iy, gdzie x oraz V są zmiennymi rzeczywistymi. Szeregiem potęgowym o wyrazach zespolonych nazywamy szereg

(4)

a₉Ą-a_lz+a₂^+ ... +n„z"+ ... = \ a_nzⁿ

gdzie a₀, a_lt ..., a„, ... —pewne stałe zespolone.

Jeżeli przedstawić liczbę zespoloną a-\ib jako punkt (a, b) płaszczyzny xOy, to wtedy obszarem zbieżności dowolnego szeregu potęgowego (4) o wyrazach zespolonych (inaczej zbiorem punktów, w których szereg jest zbieżny) będzie pewne kołp o środku w początku układu współrzędnych

Promień koła zbieżności zespolonego szeregu potęgowego nosi nazwę promienia zbieżności tego szeregu. Jeśli oznaczyć promień ten przez R, to gdy R = 0 szereg jest zbieżny tylko w jednym punkcie (0, 0), czyli gdy z = 0, a gdy R = -\-oo szereg jest zbieżny w każdym punkcie płaszczyzny zespolonej xOy.

Funkcję wykładniczą e^z dla zmiennej zespolonej z — x+/y (dla argumentu zespolonego) definiujemy jako sumę szeregu potęgowego

Suma ta istnieje dla każdej wartości z (porównaj rozwiązanie zad. 1029 (2)).

Dla z — iy (x = 0) oraz dla z = —iy, otrzymujemy następujące wzory Eulera

(5)

e^!y = cos yf-i siny, e~^iy = cosy—/sinj'

wyrażające funkcje wykładnicze za pomocą funkcji trygonometrycznych. Dodając i odejmując te wzory stronami otrzymamy jeszcze dwa wzory

cos;' =

e^iy+e~^iy

(6)

które wyrażają funkcje trygonometryczne za pomocą funkcji wykładniczych. I te wzory nazywamy wzorami Eulera.

1028. Zbadać zbieżność szeregów o wyrazach zespolonych:

+ 00

3-2 i

+ 00

*2

n=l

⁰ § ⁱ⁺'^,;

³> 2^i-2^i⁺iń‘+t)

n(3/—1)"

Rozwiązanie: 1) Wyraz ogólny szeregu jest liczbą zespoloną,

3

której częścią rzeczywistą jest a_n —-—, a częścią urojoną b„ =

1+yn

2

=---. Odpowiednie szeregi o wyrazach rzeczywistych Va„ i Vb„

\+\n    -    "    "

są rozbieżne, co wynika z porównania ich z szeregiem harmonicznym 1

^x ^ . Tym samym jest rozbieżny również dany szereg o wyrazach zespolonych.

2) Posłużymy się kryterium d’Alemberta. Mając dany «-ty wyraz szeregu c„, znajdujemy następny z kolei wyraz c_n+1

£-n

n(3i~ 1)”

(n-fl) (3/— l)"^+ł

>    ^«+l    5ⁿ⁺ⁱ

oraz znajdujemy granicę stosunku modułóW tych wyrazów

Hm J^lL _{= lim}J^ ₌ ,_im

n-*+ oo Cn    ;^c«|

(«+l) (3*— 1)

5 n

VTo

< i

Tym samym, na mocy kryterium d’Alemberta, dany szereg jest bezwzględnie zbieżny.

3) W tym przypadku szeregi o wyrazach rzeczywistych a„ — i b_K ■= -—-y- są przemienne i zbieżne, na mocy kryteripm Leibniza. Dany szereg zespolony jest więc także zbieżny.

29*

451

1

Na granicy (na okręgu) kola zbieżności zespolonego szeregu potęgowego mogą być zarówno punkty, w których szereg jest zbieżny, jak i punkty, w których szereg jest rozbieżny.