225(1)

Natomiast szereg, utworzony z modułów' wyrazów danego szeregu

*f- co    -f- co    4* oo

\ ,fl» + j6n! = y^]/al+bl =    ]/_(2ł,_i)* + (2n+l)* ⁼

n—0    n=»0    n«=0

/i=0

4-co

y y 8,772

Zj 4/P-l

n=0

jest rozbieżny, co wynika z kryterium porównawczego, bowiem

4-oo

|/8 n

4n²— 1

²—2    1/8)?    1 .VI

^>    ' ’    ~    2    ¹    ^ «i/? ~    ^°°

4n²

ⁿ V²

(ten sam wynik otrzymamy na podstawie rozbieżności szeregów Z |o»|

i 2

Dany szereg zespolony jest więc zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie.

1029. Znaleźć promienie zbieżności szeregów potęgowych o wyrazach zespolonych:

4-oo

4- oo

1) 2’2-(, „-l—,)z-    2)    3)

^B“°    n~l    n=l

Rozwiązanie. Posługujemy się kryterium d’Alemberta: 1) u_n = 2"([/^l ~i)z^H, u_n+l = 2"⁺¹(\/n —i)z*+^l

W* ~i) _r

«->+oo    |W|

= 2]z| lim

\n—1 —i

(ł n —i) {]/n — l 4-i) Wn-\ —i) (*/«— 1 +')

= 2z!

= 2|zj lim

| n²+«

Zatem dla wszystkich wartości z = x-\- iy spełniających nierówność \z\ < y dany szereg jest zbieżny, a dla wszystkich |ź| > ~—jest on rozbieżny.

Geometrycznie oznacza to, że badany szereg jest zbieżny wewnątrz koła |z| = ]/?+/ < y

y² < -j-, a jest rozbieżny poza nim. Szukany promień 1

zbieżności wynosi więc R =y.

Na granicy koła zbieżności, tj. na okręgu |z| = y lub :ćĄ-y¹ = szereg ten jest rozbieżny, gdyż ogólny wyraz szeregu dla wszystkich punktów granicy c„ = ]/«— 1—i, nie dąży do zera, gdy n -» + oo.

Kn+1 =

2) «_n =

(»+!)!

Q= lim -yy- = lim—y -n-* + <o |MbI    W+l

= 0

Na podstawie kryterium d’Alemberta stwierdzamy więc, że w tym przypadku rozważany szereg jest zbieżny bezwzględnie dla każdej zespolonej wartości z. Promień zbieżności jest nieskończony.

3)„„ = -2±^V,

q = lim -i—= lim

ir-* + oo |«„|

(3+4i)

(«+l)²

«²(3+4i)

= ki³1/3²+4² lim

(«+D²

5|z|³

Rozważany szereg jest więc zbieżny, gdy 5|z|³ < 1, czyli promień zbieżności szeregu wynosi R — Na granicy kola zbieżności szereg też jest

V⁵

zbieżny, bowiem do punktów granicy zbieżny jest szereg liczbowy y utworzony z modułów wyrazów badanego szeregu.

Zbadać zbieżność szeregów o wyrazach zespolonych:

+ 00 1030. ^ n=z 1	d+0^2" n\	foo n=0
+ co		-f 00
1032. y /?=* 1		1033. n*= 1

(3-Q“

10" • n

AST