243(1)

243(1)



funkcję m(x, y) = 2xy—3.v+y, której różniczka zupełna jest identyczna z lewą stroną danego równania różniczkowego. Po przyrównaniu tej funkcji do stałej dowolnej, otrzymamy całkę ogólną danego równania

2xy-3x+y} = C

którą należało wyznaczyć.

2) Po sprawdzeniu, że w rozważanym równaniu lewa strona jest różniczką zupełną pewnej funkcji u(x, y)

(.v+1nb|); = j = (l + y + sin^

znajdujemy następnie tę funkcję, całkując osobno każdą z różniczek cząstkowych

« = j (*+ln|v|)</.v — ^-+xln >14-^0')

u = | (l-fy -fsinyj dy = .y+jdnfyj-cosjy-i-yO)

Zestawiamy teraz ostateczne wyrażenie na funkcję u (przez dopisanie do wiadomych wyrazów pierwszej całki brakujących wyrazów, zależnych tylko od y, z całki drugiej). Przyrównując otrzymane*wyrażenie do stałej dowolnej C, znajdujemy całkę ogólną danego równania

-ę+A-łnlyl-l-y-cosy = C

którą należało wyznaczyć.

Sprawdzić, że poniższe równania pierwszego rzędu są równaniami różniczkowymi zupełnymi oraz rozwiązać je:

1092.    (3.Y2y2-f 7)dxĄ-2xiydy — 0

1093.    (ey+yex+3)dx = (2-xey-ex)dy

1094.    sin(Y-fy)r(Y-f xcos(x+y) (dx-\-dy) = 0

1095.    (2x+yexy)dx-\-{\Jrxexs)dy = 0, przy warunku y(0) = 1

1096*. paśf +,)*-(-!!*    o

§ 6. Równania wyższych rzędów sprowadzalne do równań rzędu r iszego

1) Równanie n-tego rzędu y(n) = f(x) rozwiązuje się przez kolejne całkowanie. Mnożąc je obustronnie przez dx i całkując otrzymamy równanie

(/z — 1 )-go rzędu: y(n_1) = J f(x)dx+Cl = 9h(-\')+Q-

Mnożąc ponownie obie strony równania rzędu (n— 1) przez dx i całkując

otrzymamy równanie («-2)-go rzędu: y{n~2> = jrpl(x)dx+ f C,dx-\-C2 -= T^M+C^-f-C, itd.

Całkując tak n-krotnie znajdujemy całkę ogóiną y równania wyjściowego, jako funkcję zależną w sposób jawny od ar, i od n stałych dowolnych: v = r/'n(-x)-r C[Xn~1 j- C2ar"_2+ ... + C„.

2)    Równania drugiego rzędu: A) f(x, y , y") = 0 i B) F(y, y\ y") = 0, nie zawierające w jawny sposób funkcji y lub argumentu ar, sprowadzają się

do równań pierwszego rzędu przez podstawienie / = p (skąd y” —    —

dla równania A, albo y" = p -J- — dla równania B).

1097. Rozwiązać równania:

1) /" - 60.Y2    2) (x—3)y"+y' = 0

3)    yy" — (y'f=yi, przy warunku j(0) = — l, /(O) = o

Rozwiązanie: 1) Mnożąc dane równanie obustronnie przez dx, a następnie całkując je, sprowadzamy równanie trzeciego rzędu do równania rzędu drugiego: y'"dx = 60.vV.v; y" = 20 w3+ Cj.

Analogicznie znajdujemy równanie rzędu pierwszego, a potem szukaną funkcję, tj. całkę ogólną danego równania

y"dx — 20xidxJrCidx; y' = 5x*Ą-CixĄ-C2 y'dx = {5x4-\ClX-\-C2)dx; y = x5+C1    +C2x+C3

2)    W danym równaniu drugiego rzędu nie występuje wyraźnie funkcja y.

Biorąc y' = p. otrzymamy y" — i po podstawieniu sprowadzimy je do równania pierwszego rzędu

(,_3)f + „ = °

Rozdzielając zmienne i całkując, znajdujemy ~^p -f 0 i In|p!+lnj.v-3: - InC; |/>(*-3)| = C; p(x-3) = ±C = GLZastępując teraz funkcję pomocniczą p przez otrzymamy równanie ^'V~3Ci, którego rozwiązanie jest szukaną całką ogólną

dy =    y = Ci ln \x-3\-\-C2

4«y


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Lewa strona tego równania jest różniczką zupełną pew nej funkcji spełniającej w arunki (4)ox cy Funk
IMG93 8. Proszę obliczyć złożoność czasową i pamięciową dla wywołania funkcji Silnia (której kod da
a.    nadawcę - funkcja ekspresywna, w której celem komunikatu jest nadawca; b.
32(1) Lewa strona powyższego równania jest to różnica energii kinetycznej £k koralika po przebyciu d
Matematyka 2 $7 246 IV /W* nam a różniczkowe zwyczajne Zgodnie z założeniem, prawa strona tego równ
5.3.1. Metoda różniczki zupełnej Niech szukana wielkość Z jest funkcją tylko jednej zmiennej Z = f(x
83235 Obraz (2644) 12 Jest to matematyczna konsekwencja faktu, że wobec równania (2.11) różniczka zu
193(1) Warunek P y = Q j jest spełniony, dane wyrażenie jest więc różniczką zupełną pewnej funkcji u
Obraz (2644) 12 Jest to matematyczna konsekwencja faktu, że wobec równania (2.11) różniczka zupełna
Image293 Możliwe jest wykorzystanie funkcji pomocniczych wyższych poziomów. Sposób ich tworzenia jes
img071 • • • nazywamy różniczkę zupełny, albo krótko różniczkę, funkcji 4 w pun*-etę a. Oznaczamy ję
HPIM5392 Różniczka zupełna dF funkcji F=F(V,T) wynosi zaś zmiana entalpii dU=Qe, -pdV +

więcej podobnych podstron