funkcję m(x, y) = 2xy—3.v+y, której różniczka zupełna jest identyczna z lewą stroną danego równania różniczkowego. Po przyrównaniu tej funkcji do stałej dowolnej, otrzymamy całkę ogólną danego równania
2xy-3x+y} = C
którą należało wyznaczyć.
2) Po sprawdzeniu, że w rozważanym równaniu lewa strona jest różniczką zupełną pewnej funkcji u(x, y)
(.v+1nb|); = j = (l + y + sin^
znajdujemy następnie tę funkcję, całkując osobno każdą z różniczek cząstkowych
« = j (*+ln|v|)</.v — ^-+xln >14-^0')
u = | (l-fy -fsinyj dy = .y+jdnfyj-cosjy-i-yO)
Zestawiamy teraz ostateczne wyrażenie na funkcję u (przez dopisanie do wiadomych wyrazów pierwszej całki brakujących wyrazów, zależnych tylko od y, z całki drugiej). Przyrównując otrzymane*wyrażenie do stałej dowolnej C, znajdujemy całkę ogólną danego równania
-ę+A-łnlyl-l-y-cosy = C
którą należało wyznaczyć.
Sprawdzić, że poniższe równania pierwszego rzędu są równaniami różniczkowymi zupełnymi oraz rozwiązać je:
1092. (3.Y2y2-f 7)dxĄ-2xiydy — 0
1093. (ey+yex+3)dx = (2-xey-ex)dy
1094. sin(Y-fy)r(Y-f xcos(x+y) (dx-\-dy) = 0
1095. (2x+yexy)dx-\-{\Jrxexs)dy = 0, przy warunku y(0) = 1
1096*. paśf +,)*-(-!!* o
§ 6. Równania wyższych rzędów sprowadzalne do równań rzędu r iszego
1) Równanie n-tego rzędu y(n) = f(x) rozwiązuje się przez kolejne całkowanie. Mnożąc je obustronnie przez dx i całkując otrzymamy równanie
(/z — 1 )-go rzędu: y(n_1) = J f(x)dx+Cl = 9h(-\')+Q-
Mnożąc ponownie obie strony równania rzędu (n— 1) przez dx i całkując
otrzymamy równanie («-2)-go rzędu: y{n~2> = jrpl(x)dx+ f C,dx-\-C2 -= T^M+C^-f-C, itd.
Całkując tak n-krotnie znajdujemy całkę ogóiną y równania wyjściowego, jako funkcję zależną w sposób jawny od ar, i od n stałych dowolnych: v = r/'n(-x)-r C[Xn~1 j- C2ar"_2+ ... + C„.
2) Równania drugiego rzędu: A) f(x, y , y") = 0 i B) F(y, y\ y") = 0, nie zawierające w jawny sposób funkcji y lub argumentu ar, sprowadzają się
do równań pierwszego rzędu przez podstawienie / = p (skąd y” — —
dla równania A, albo y" = p -J- — dla równania B).
1097. Rozwiązać równania:
1) /" - 60.Y2 2) (x—3)y"+y' = 0
3) yy" — (y'f=yi, przy warunku j(0) = — l, /(O) = o
Rozwiązanie: 1) Mnożąc dane równanie obustronnie przez dx, a następnie całkując je, sprowadzamy równanie trzeciego rzędu do równania rzędu drugiego: y'"dx = 60.vV.v; y" = 20 w3+ Cj.
Analogicznie znajdujemy równanie rzędu pierwszego, a potem szukaną funkcję, tj. całkę ogólną danego równania
y"dx — 20xidxJrCidx; y' = 5x*Ą-CixĄ-C2 y'dx = {5x4-\ClX-\-C2)dx; y = x5+C1 +C2x+C3
2) W danym równaniu drugiego rzędu nie występuje wyraźnie funkcja y.
Biorąc y' = p. otrzymamy y" — i po podstawieniu sprowadzimy je do równania pierwszego rzędu
(,_3)f + „ = °
Rozdzielając zmienne i całkując, znajdujemy ~^p -f — 0 i In|p!+lnj.v-3: - InC; |/>(*-3)| = C; p(x-3) = ±C = GL. Zastępując teraz funkcję pomocniczą p przez otrzymamy równanie ^'V~3Ci, którego rozwiązanie jest szukaną całką ogólną
dy = y = Ci ln \x-3\-\-C2