249(1)

_Vi danego równania będzie się różnić od prawej strony równania niejednorodnego czynnikiem x², czyli

}>! — x²(Ax²-'_rBx + C) = Ax*-'_rBx²-\-Cx^z Aby określić wartości współczynników A, B, C znajdujemy pochodne: /, = 4Ax*+3Bx^l+2Cx, y’{ = l2Ax²+6Bx+2C,    = 24Ax+6B,

= 24A i podstawiamy y" i y^{4) do równania niejednorodnego. Otrzymujemy

24A-3(12AĆ+6Bx+2C) = 9x²

Porównanie współczynników przy jednakowych potęgach x prowadzi do układu równań: —36/4 = 9, — IBS = 0, .24A.—6C = 0, z którego

otrzymujemy A = — -j-, B = 0, C = —1. Wobec tego

y — M-j-Ji — Ci+C_zx-{-C_ie^{l JX} +C₄e ^{1 3j;}— —-\'²

2) Równanie charakterystyczne r^z—3r^2jr2r — 0 ma pierwiastki = =0, r₂ =1, r₃ = 2. Całką ogólną odpowiedniego równania jednorodnego będzie więc funkcja

u = C₁+C,e^r+C₃e³¹

Prawą stroną danego równania jest funkcja postaci e^m''P_l (/)+e^m-'_JP₂(0 przypadek 3), gdzie: = 2, P_t(t) = 4. /«₂ = 3, P₅(0 = —3, przy czym liczba /«! jest tu pierwiastkiem jednokrotnym równania charakterystycznego. Wobec tego całką szczególną danego równania będzie funkcja o postaci

= Ate^2,-\-Be^v

Z kolei wyznaczamy pochodne:    = Ae²‘(l+2t)+3Be^2t, x" —

= 4Ae²'(l-r-t)4-9Be^2t, x" — 4Ae²‘(3-\-2t)+27 Be^3t i podstawiając je do danego równania niejednorodnego, otrzymujemy

2Ae^L,Jr6Be^lt — 4e²' — 3e³'

Porównując współczynniki przy wyrazach podobnych po obu stronach tej równości otrzymamy: 2A = 4, 6B = — 3, skąd A = 2, B = —. Zatem

.V! = 2 ter'—i-e³‘

_x = b+jc, = C_l+C,e' + C₃e^2,+2/e²'-^e³'

3)    Równanie charakterystyczne 4r⁵+r = O ma pierwiastki r, = 0,

r_2>3 = ±-y^,'»^awięc

u = Cj + CiCos-^+CaSin

Prawa strona danego równania jest sumą funkcji o postaci e^mxP(x) i e^ax(A₁cosbx+A₂s\nbx), gdzie: m = 1, P(x) = 3, a = 0, b = —A\ = =0, A₂ = 2 (przypadek 3). Liczba m nie jest pierwiastkiemrównania charakterystycznego, natomiast a±bi = dh yi są jednokrotnymi pierwiastkami

tego równania. Dlatego szukaną całką szczególną danego równania jest funkcja o postaci

[b cos~-|-Csin yJ

y_x = Ae*-\-x

Aby wyznaczać współczynniki A, B, C, różniczkujemy trzykrotnie funkcję y\ i podstawiamy y\ i y" do danego równania niejednorodnego. Mamy

5Ae^x—25 cos —2Csin= 3e*-f2sin 2 2 2

Porównując współczynniki przy wyrazach podobnych otrzymujemy układ równań: 5A = 3, -25 = 0, -2C = 2, skąd A =    5 = 0,

C = — ], więc

3 _x . x

yi = j-e*-xsiny

y = w+^i = Cj+C^coSy + C₃siny-f-|-e*—xsiny

4)    Pierwiastkami równania charakterystycznego r³-f r² = 0 są r_1>2 = 0, ^r3 = — 1, a całką ogólną odpowiedniego równania jednorodnego jest

u = C₁-\-C₂x-\-C₂e~'^s

Prawą stroną danego równania niejednorodnego jest funkcja o postaci ć*'^xPi (x)^Jrc^m*^xP₂(x), gdzie: m_{ = 0, P_x(x) — 1, m₂ = — 1, P₂(x) = — 6x² (przypadek 3). Liczba tn_x jest przy tym pierwiastkiem podwójnym, a liczba