254(1)

spadania prędkość ciała niewiele będzie się różnić od wartości granicznej, fnaczej mówiąc, praktycznie można przyjąć, że już pod kilku sekundach od rozpoczęcia spadania ciała w powietrzu jego ruch jest ruchem jednostajnym.

2) Podstawiając dane w zadaniu wartości do przybliżonego równania

znajdujemy promień spadochronu

0,083 r²ji

100

1

1165. Znaleźć kształt zwierciadła, odbijającego wszystkie promienie wychodzące z jednego punktu równolegle do danego kierunku.

Rozwiązanie. Przetnijmy powierzchnię zwierciadła płaszczyzną przechodzącą przez punkt, z którego wychodzą promienie, równoległą do danego kierunku. Obierzmy ten punkt za początek układu współrzędnych, leżącego w tej płaszczyźnie, i skierujmy oś Oy w kierunku rozchodzenia się promieni odbjtych. Znajdźmy następnie równanie krzywej L powstałej z przecięcia szukanej powierzchni z omawianą płaszczyzną (rys. 217).

Rys. 217

y

Ponieważ kąt padania równa się kątowi odbicia, to ■£ r/y = •£ <p₂. Ale ■£ 953 = (fi; trójkąt MON jest więc trójkątem równoramiennym i MO = = ON.

Pisząc równanie stycznej MN

Y-y = /(X-x)

i podstawiając w nim X = 0, znajdujemy Y = — ON = y—xy' < 0. Długość odcinka OM = ]- .at+>'² .

Przyrównując wyrażenia dla ON i OM, otrzymamy równanie różniczkowe dla krzywej L

_ Jest to równanie jednorodne pierwszego rzędu względem x i y (§ 3). Łatwo znajdujemy jego całkę ogólną

X² — c²

która przedstawia rodzinę parabol symetrycznych względem osi Oy, o wspólnym ognisku w danym punkcie O.

Krzywa L będzie jedną z parabol tej rodziny, a ponieważ leży ona w dowolnej płaszczyźnie przechodzącej przez oś Oy, przeto szukaną powierzchnią zwierciadła jest paraboloida

2 i 0 O

x^Jrz—c ^y = 2c-

powstająca przy obrocie krzywej L dookoła swej osi.

Tego rodzaju zwierciadła paraboliczne, przetwarzające rozbieżną wiązkę promieni świetlnych na wiązkę równoległą, stosuje się ir reflektorach.

1166. Naczynie o pojemności 100 1 napełniono roztworem zawierającym 10 kg rozpuszczonej soli. W ciągu minuty do zbiornika dopływa 3 I wody i taką samą ilość roztwmru przepompowuje się zeń do drugiego zbiornika o tej samej pojemności, początkowo zapełnionego w'odą, z którego nadmiar wody odprowadza się poza zbiornik.

W jakiej chwili czasu w obu zbiornikach będzie ta sama ilość soli? Rozwiązanie. Oznaczmy przez x (w kg) tę ilość soli, która zawarta jest w pierwszym naczyniu w chwili t (w min). Niech w następnym małym odstępie czasu dt ilość solfw zbiorniku zmniejszy się o dx.

W czasie dt ze zbiornika wypłynie 3 dt litrów roztworu. Stężenie roztworu (tj. ilość soli przypadająca na jeden litr roztworu) w chwili t wynosi ^

(kg/I). Jeśli założyć, że w tym małym odstępie czasu dt stężenie roztworu nie ulega zmianie, to w czasie dt ilość soli zmniejszy się o —dx =

X

~ Too (bowiem dx < 0).

Rozdzielając w' powyższym równaniu zmienne i całkując, otrzymamy

dx

x

ln.v

-0.03/+O

Biorąc pod uwagę warunek początkowy: x — 10, gdy t = 0, znajdujemy Wartość stałej c = In 10.

511