256(1)

CIS

Podstawiając w tym równaniu drugiego rzędu = v, otrzymamy równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych

dv    , dv    .

—- = — av²\    —- = —adt

dt

i po sćałkowaniu znajdujemy 1

= atĄ-Cy albo v

1

at+c_t

Z warunku początkowego: v — 200 dla ł =' 0, danego w zadaniu, wyznaczamy stałą ci

²⁰⁰ = i^; c‘ = m-

Wobec tego prędkość kuli w tarczy zmienia się z czasem wg wzoru

(7)

200

^V~ l+200at

ds

Podstawiając do tej zależności v =    , rozdzielając zmienne oraz cał

kując, otrzymamy

*-T&KS-> > = v^l"<¹⁺²⁰⁰'">+^c>

Z warunku s = 0 dla t — 0, znajdujemy c₂ = 0.

Zatem zależność od czasu drogi, przebywanej w tarczy przez kulę, ma postać

^ = — ln(l+200fl/)    fa)

a

Podstawiając v = 50 do równania (7) i s = 0,1 do równania (8) otrzymamy układ równań, w którym niewiadomymi będą t i a

^S0 = tMm’ (1 —200*)

Wyznaczając z pierwszego równania l-j-200cd = 4 i podstawiając do drugiego, znajdujemy wartość a

0,1== —ln 4; n = 10 ln 4

.fi

Wreszcie podstawiając tę wartość a do pierwszego równania rozwiązywanego układu, znajdziemy czas przelotu kuli przez tarczę 200 3

⁵ “ 1+(200 • 10In4)/ ’    * “ 200015? ~ ^{0,001 (sek)}

1169. Z gładkiego haka ześlizguje się wiszący na nim łańcuch. W chwili początkowej z jednej strony haka zwisa 10 m łańcucha, a z drugiej 8 m. Nic uwzględniając oporów ruchu znaleźć: 1) w ciągu jakiego czasu cały łańcuch ześlizgnie się z haka i 2) prędkość łańcucha w chwili początkowej swobodnego spadania.

Rozwiązanie. Jeśli w chwili t długość poruszającej się w dół części łańcucha wynosi s (m), to w chwili tej siła F działająca na łańcuchu i powodująca jego ruch jest równa różnicy ciężarów części łańcucha zwisających po obu stronach haka

F — dgs— <5g(18—s) = 26g(s—9)

gdzie: & — masa jednego metra łańcucha, a g — przyspieszenie ziemskie. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki (Newtona) ruch łańcucha opisuje następujące równanie różniczkowe

^18Ó    = 26s(s~ ⁹)» ^cz>'^{li 9} ^2 = g(s- 9)

Równanie to rozwiązujemy tak, jak rozwiązuje się niepełne równanie drugiego rzędu, w którym nie występuje wyraźnie zmienna niezależna t

(patrz § 6)ⁿ. Podstawiając ^ = v, mamy

d²s _    dv    ds    _ ds    dv dv

di¹    dt    ds dt    ds    ^V ds

dv

9v = g(s—9); 9vdv = g(s—9)ds

y ®² = y (*—9)²+ y 5    9v² = g(s—9)²-f-Ci

Stałą Cj waznaczamy z warunku początkowego, danego w, zadaniu: ^s ~ 10, gdy v = 0

0 = g(10-9)²+_Cl; Cj = —g

—__ 9v² = g(_s-9)^z-g    (9)

*) Równanie to można też rozwiązywać inaczej, jako liniowe równanie różniczkowe ⁿⁱejednorodne o stałych współczynnikach (§ 8).

33*

515