244(1)

3) Jest to niepełne równanie drugiego rzędu; nic występuje w nim wyraźnie argument .r. Podstawmy y' —p; wtedy y" —p-~\ dane równanie przechodzi w równanie pierwszego rzędu

dp    P _ 21

dy    y p

dp 2    3

yp !--? = ?

tIn    n

albo

będące równaniem Bernoulliego, jeśli p traktować jako funkcję y. Zastępując funkcję p, wg wzoru p = p otrzymamy

dv du 'i>+*•*"	uv	= 2L
	y	uv
dv , / du dy ^ ^1 \ dy	_u\	| = 2l
	y i	I uv

albo

Mamy stąd dwa równania dla u i v

du ^u _ q j

dy y    dy uv

Z pierwszego równania znajdujemy u jako najprostszą jego całkę szczególną    - '

lnu - lny; u = y

= 0;

u y

Podstawiając u do drugiego równania, znajdujemy v jako jego całkę ogólną

dv y¹    ,

y-r- = —; vdv = dy; dy yv

= y+C,; v = ±/2(y+C_l)

Znając u\v znajdujemy/? = uv — ±y y2(y+Ci)'.

Zastępując teraz p przez •— otrzymamy równanie o zmiennych rozdzielonych

dy

= ij/ 2 (y-f Ci)

Nim przystąpimy do całkowania tego równania, jest celowe wyznaczyć przed tym wartość stałej Cj, korzystając z danych wartości y = — _2> y = 0. Mamy    _ _

⁰ = ±Tj/²(-T+4 ^{c, =} t

Podstawiając wyznaczaną wartość Cj do rozpatrywanego równania, rozdzielając w nim zmienne i całkując, znajdujemy

-=7 = ±^-; ±*+c₂ = f —

I 2y+l    J yj/

y)/2y+l

= /

Aby obliczyć całkę 7, podstawiamy \ 2y+l — z; wtedy 2y+l = z², dy = zdz oraz

1 = 2

r dz

J ~

ln

z— I z+l

= ln

if/ży+T-il

^2y+l + l

Zatem

1+V2y+

Wykorzystując wreszcie dane wartości: x = 0, y = 1/2 wyznaczamy wartość stałej C_z = In| —1| = 0 i otrzymujemy szukaną całkę szczególną o postaci

_±taiL-ł^+lJ

l+]/2y-j-l

Rozwiązując to zadanie pokazaliśmy, m.in., że przy Wyznaczaniu całek szczególnych równań różniczkowych wyższych rzędów (wskazanych typów) nie ma konieczności wyznaczać najpierw całkę ogólną, a dopiero potem wyznaczać wartości wszystkich stałych. Można, a czasem nawet jest lepiej, wyznaczać wartości każdej stałej bezpośrednio po tym, jak tylko stała ta pojawi się w trakcie rozwiązywania.

Rozwiązać równania:

1098. /" =

1099. y" = xsin.v

1100.ar(y"+l)+y' = 0    1101. y" = /l-(y')²

1102. y”+ay = b    1103*. yy" - (y')² = y⁴

W zadaniach 1104—1106 znaleźć całkę szczególną danego równania spełniającą podane obok warunki początkowe:

1104.    y" = 3*²; y(0) = 2, y'(0) = 1

1105.    {y"_x—y')y = jc³; y(l) = 1, y'(l) = 0 H06*. 2y(y')³+y" = 0; y(0) = 0, y'(0) = -3

491