2 (10)

m

Funkcje ciągle

d_z(g{y), gifipii) < e, >■ jeśli dj(y;f{p)) ktfiy ef(E).

Hypntfc/j.cs: 'Ciągła w punkcie p, istnieje d §# O taka, że

d_r(f(x),f(p))^< n,. Jeśli d^x, p) < 5 i xeE.

^HN*Il*{p)) = d_z{g{f(x)\ g(flp))) < e, jeśli d^.x,p)<S i *e£. h jest ciągła w punkcie p.

^^^■taElDZENlE. Odwzorowanie f przestrzeni metrycznej X w przestrzeń metryczną Y X wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór f~¹ (F) jest otwarty w X dla każdego zbioru

^^■mobrazy były zdefiniowane w definicji 22;) Jest to bardzo pożyteczna własność, ^H^njąca ciągłość.

|b»cd Przypuśćmy, że /'jest ciągła na X; niech V będzie zbiorem otwartym w Y. Musimy ^HhK, że każdy punkt zbioru/"'(F) jęst jego punktem wewnętrznym. Tak więc mpeX,f{p) # V. Ponieważ V jest otwarty, więc istnieje e > 0 takie, żey € V, jeśli P«ł < e,a ponieważ/jest ciągła w punkcie p, więc istnieje 5 > 0 taka, że d_Y(f{x),f{p)) < e, Lł p) < S. W ten sposób x-ej~ ^l(V), jeśli tylko d_x(x, p) < ó.

INitotnie przypuśćmy, że zbiór/^{rt l}(F) jest otwarty w X dla dowolnego zbioru otwar-Hr w Y. Ustalmy p e A i s_t> 0, i niech V będzie zbiorem wszystkich y e Y takich, że < e. Wówczas V jest otwarty i dlategof~ ‘(F) jest otwarty; a więc istnieje 5 > 0 x e /^-1(T), jeśli tylko d_x(p, x) .< <5. Ale jeśli x e f^^Y), to f(x) 6* V, ponieważ

Hni/(p))«;

■    Dowód został zakończony.

^BtaOSEK. Odwzorowanie fprzestrzeni metrycznej X w przestrzeń metryczną Yjest ciągle ^Bkitylkowtedyf^gdyjf ~ *(ęfj(£i^ddmkriiętyni:pQdżbtorem X dla dowolnego domkniętego C w

I Fakt ten wynika z twierdzenia, ponieważ zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy Ł dopełnienie jest zbiorem otwartym. Wystarczy teraz zauważyć, że/^{- 1}(£^C)^J=^: [y^-1(£)]^c

MecźY.

■    Zajmiemy się teraz funkcjami zespolonymi* wektor-funkcjami i funkcjami określonym na pdzbiorach przestrzeni £*.

¹ 49. Twierdzenie. Niechfi ,g będą funkcjami zespolonymi,, ciągłym}, określonym na Lsestrzeni metrycznej X. Wówczas f+g,fgi fjg są ciągle jja X, jeśli fi g są ciągle,

| W ostatnim przypadku musimy; oczywiście zakładać, że g(x)    O dia wszystkich x e X.

Dowód. Dla punktów izolowanych X nie ma czego dowodzić. Dla punktów skupienia twierdzenie wynika z twierdzeń 4.4 i 4.6.

4.10. Twierdzenie, a) Niech ft,..., f_k będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na przestrzeni metrycznej X i niech f będzie odwzorowaniem przestrzeni X w R^k danym przez równość