4510

46

Wioloni!,

^ar>y

pirnriuikirm wymiernym jwl

c) Dla wielomianu 3x* + 5x^ł - / ' + 7x - 9 mamy u* ** 3 oraz a₀ a —9. Dzielnikami v*y. razu wolnego oo liczby: I, —1,3. —3, 9. —9. Dzielnikami współczynnika o* »4 nalotaitn liczby; I. — i, 3, — 3. Zatem pierwiastkami wymiernymi lego wielomianu mogą być lyj^, liczby    j, —, —, -y,    . Po sprawdzeniu okazuje się, że żadna z tych l_K?Ł

nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Uw«gz. Obliczenia w przykładzie c) można znacznie uprościć, jeżeli zauważymy, ż« dl* każdego ułamka —, gdzie p i g są liczbami nieparzystymi, wartość wyrażenia 3z* +$r* — 9 .

x* + Tc jest ułamkiem nieskracalnym o parzystym liczniku i nieparzystym mianowniku. Stąd wynika, ie wartość wielomianu 3*⁶ + 5x⁴ — x^Ą + 7x — 9 dla takiego ułamka jest ułamkiem o nieparzystym liczniku. A zatem wielomian ten nie może być równy 0 dl* tych liczb wymiernych.

• Przykład 4.5

Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych: a) ² + 2rr + 3 = 0; b)z² - (2 + i)z -1+7» = 0; c) *« + 5z² + 4 = 0; d) z⁴ - 3Oz² + 289 = 0.

Rozwiązanie

Do wyznaczenia pierwiastków równania kwadratowego ar'+6r+e =* 0 o współczynnikach zespolonych wykorzystamy wzory

-6 — 6 -6 + 6

*■ ■ ~n~-    | —5T~’

gdzie 6 oznacza jeden z pierwiastków kwadratowych z liczby zespolonej A — b⁷ - 4oc. a) Dla równania kwadratowego z* + 2ir + 3 a 0 mamy A = (2«)^a g 4 • 1 • 3 m -15. Przyjmując 6 *= 4i otrzymamy

—2i —4i    ..    -2i+4»

---- —3«, za = -^-- *•

b) Dla równania kwadratowego z^a —(2+«)z—l + 7i «= 0, mamy A = (2+i)^a~4(-l+7i) = 7 - 24i = (4 - 3i)^a. Przyjmując teraz 6 = 4 — 3i we wzorze na pierwiastki równania kwadratowego otrzymamy

—«)—, + «. „.E±2l±iirJa ₌ 3-,;

c)    Podstawiając w rozważanym równaniu w = z^a otrzymamy równanie kwadratowe u»^a +5uł + 4 =0. Rozwiązaniami tego równania są wi = — 1 oraz un = -4. Pierwiastki wyjściowego równania są zatem rozwiązaniami równań c^a — —1, z^a = —4. Stąd z» = -i, *i = i. z₃ * -2»7 ²* = 2«.

d)    Podstawiając w rozważanym równaniu w = z^a otrzymamy^ równanie kwadratowe

w³ — 30u» + 289 = 0. Rozwiązaniami tego równania są u»i = -^    ^{= 15} " ^8l or“

u»2 = ³⁰ * *— = 15 + 8i. Pierwiastki wyjściowego równania są zatem rozwiązaniami równań z^a = 15 - 8i, z² = 15 + 8i. Stąd *i = 4 - i, z* = -4 + z₃ = 4 + », *4 - -4 - «•

•    Przykład 4.6

Znając niektóro pierwiastki podanych wielomianów znaleźć ich pozostałe pierwiastki:

a)    »V(x) a *■» + 2x^a + 5x^a + 6* + 6, *i = -l +»;

b)    W{x) x⁵ - 5x« + 18r³ - 18x² + 17* - 13. *, =2-3i, x, = i.

Rozwiązania

W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie: jeżeli liczba zespolona z₀ jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to r₀ takie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

a)    Z twierdzenia tego wynika, że skoro z, = -1 + i jest pierwiastkiem wielomian* rzeczywistego x* + 2x* + 5x* + 6x + 6, to także liczba z, = x, = -1 - i je* pierwiastkiem tego wielomianu. Z twierdzenia Ilezout wynika, ie rozważany wielomian jest podzielay przez wielomian

(z - z,) (z - Za) = I* - (-1 + i)][z - (-1 - j)) = I⁵ +2* + 2.

Iloraz i dzielenia wielomianów

(*⁴+ 2** + 5z² + 6* + 6) ; (*^a + 2x + 2)

jeat wiclominncm z* + 3. Pierwiastkami tego wielomianu tą liczby zj = >/5i, _Xł = -y/li.

b)    Skoro liczby z, = 2 - 3i oraz z₂ = i są pierwiastkami wielomianu rzeczywistego, to takie liczby *» =■ x_x = 2 + 3i oraz z« = z₃ = -i tą jego pierwiastkami. Z twierdzenia Bezout wynika, żc wielomian r^ł - 5z* + }8x* - 18z^ł + I7z - 13 jest pudzielny przez wielomian

(z-*,)(*-z₃)(*-*a) (*-*«) = (* — (2 — 3a» (x — C* +30] C* — »)(* + i)

f (r^a-4i + 13)(*^a + l)

= z* - 4*³+ I4z^a - 4z + 13.

Dorazem z dzielenia wielomianów

(z⁵ - 5z* + ISr³ - I8z^? + 17* - 13) : (** - 4x³ + 14x^a -4z-f 13) jest wielomian z — 1. Pierwiastkiem wielomianu z — 1 jest oczywiście x₃ = 1.

Uwaga. Dla tego wielomianu końcowe obliczenia można uprościć próbując znaleźć pierwiastki całkowite wśród podzielników wyrazu wolnego oo = —13, tj. wśród liczb: 1, —1, 13,-13.

•    Przykład 4.7

Nie wykonując dzieleń znaleźć reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q, jeżeli:

i) P{x) = x^ł0 + x^a - 2, Q(x) == x³ - 4x; b) P(x) = X⁸ + 5x³ + 1, Q(x) = x² - 2x + 2.

Rozwiązanie

a) Reszta z dzielenia dowolnego wielomianu przez wielomian stopnia 3 jest wielomianem