4562

I    wyiucMola 5. Niech S = (x.y.s). Ponieważ punk, .Uri, do prostej /. więc

•pelUo jej równani. Poa^ilo wektor SP jrml prostopadły do wektora kierunkowego 0 tej

prostej, więc spełnia warunek 5P o9.0. Mamy § a (-2,1.3) oraz 5/¹* (-_r, I — f.J- *)• Współrzędne punktu S spełniają

l 2* - | - 3z = -10.

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb r wm 0, y ■-!, _am I, zatem S =

II sposób wy*nac**nl« S. Równanie parametryczne tej prostej ma postać li z = — 1 —2#,|F *i|i ■ 5 + 31, I € Jt. Punkt S jest punktem przecięcia prostej I z płaszczyzną

*    prostopadła do I i przechodzącą przez punkt P. Równanie płaszczyzn, x jest postaci

*    : — 2r + | + Jr-10s0. Współrzędne (—1 — 21,1,5 + 31) punktu 5 wyznaczymy z

zależności -2(-l - 21) + I + 3(5 + 31) - 10 =» 0. Stąd 141 + 7 = 0. Zatem I = - j. więc 5 = (o,—j, jj - Znajdziemy teraz punkt P'. Niech P' m    Wied,

SP - («' - O. »' + |.Z* - |) oraz SP- (o. |. - j) .

Współrzędne punktu P znajdujemy z układa równań

Rozwiązaniem tego składu jest trójka liczb z = 0, y = —2, z' = 4. Zatem /** — (0.-2,4).

e) Punkt P‘ jest symetryczny do punktu P względem płaszczyzny r, jeżeli spełnia wa-—• 9    •

runek SP = — SP, gdzie 5 oznacza rzut prostokątny punktu P na płaszczyznę r. Znajdziemy teraz rzut prostokątny 5 punktu P = (0,1,3) na płaszczyznę

* : x + y + r = 0.

I sposób wyznaczania S. Niech S — (z, ,, r), Ponieważ punkt 5 należy do płaszczyzny ». więc spełnia jej równanie. Ponadto wektor SP jest prostopadły do tej płaszczyzny, więc jest równoległy do wektora normalnego I płaszczyzny x, czyli spełnia warunek

Trzynasty tydzień - przykłady

SP* ** dla pewnego * € R \ {0}. Mamy n = (1,1,1) oraz SP= (__x ,    „ ,    .

Współrzędne punktu 5 spełniaj* układ równań    '    ~ *)•

* + y + * = o, z£ _ IzJL _ 3 - * i i “T“*

Układ ten jest równoważny układowi

* + » + « = 0, -* + y = i, -z + * = 3;

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb z =

II sposób wyznaczania 5. Zauważmy, że prosta / : z = t,y = l + t,x = 3 +1, gdzie f € Ki przechodzi przez punkt P i jest prostopadła do płaszczyzny x. Punkt S = (ł,l + 1,3 + 0 jest punk-tein przecięcia prostej I i płaszczyzny x. Jego współrzędne wyznaczamy z zależności

t + (l + 0 + (³ + 0 = °- ^SM ł = -|, za-

. Znajdziemy teraz

( 4    1 5

tem S = I —    J • 3

punkt P'. Niech P = ,y Wtedy

SP = r

4 *1 * 5

Mlmmm

Współrzędne punktu P znajdziemy z układu równań

4

3

1

3

5 3

4

3*

4

3’

4

3'

* +

y +

»

Z —

z = i. Zatem P =

3    3

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb z =

• Przykład 13.5

Znaleźć rzut ukośny w kierunku wektora w = (1,-1,1):

a)    punktu P = (0,1, 0) na płaszczyznę r : x + 3y -6 = 0;

b)    prostej /: x = -2y = 3z na płaszczyznę x:* + y + *- 5 = 0.