4 (8) 2

Rozdział 5

Różniczkowanie

W rozdziale tym (z wyjątkiem ostatniego ustępu) będziemy zajmować się wyłączam funkcjami rzeczywistymi, określonymi na przedziałach otwartych lub domkniętych. Tłumm czy się to nie tylko względami wygody — przy przejściu od funkcji rzeczywistych <■ wektorowych wynikają bowiem liczne trudności. Różniczkowaniu funkcji określonymi w R^k będzie poświęcony rozdział 9.

Pochodna funkcji rzeczywistej

5.1. Definicja. Niech/ będzie funkcją rzeczywistą, określoną na (a, b). Dla dowolnep| x e (a, b) rozpatrzmy wyrażenie

|- IM

* twierda Da* ód. T

*>(/) =

m-m

(a <t < b, t ^ x)

■fcfcfi podzielim Hbttzymamy t

(2)

/'(*) m

Bsorąc pod u

o ile zgodnie z określeniem 4.1 granica ta istnieje.

W ten sposób z funkcją/związana jest funkcja f, której obszarem określonośd jest zbiór j tych wszystkich punktów, w których istnieje granica (2); funkcję /' nazywamy pochodnąI funkcji f

Jeżeli pochodna/'jest określona w punkcie x, to mówimy, że funkcja /jest różniczkować na w punkcie x. Jeżelif'jest określona w każdym punkcie pewnego zbioru £ e ó), to | mówimy, że/jest różniczkowalna w £.

We wzorze (2) można rozpatrywać granicę prawostronną lub lewostronną; doprowadzają to do definicji pochodnej prawostronnej i lewostronnej. W szczególności, na końcach prze-l działu domkniętego a i b pochodna (o ile istnieje) zawsze jest odpowiednio prawostronna lub I lewostronna. Nie będziemy się tu zajmować jednak bliżej tymi pochodnymi.

Jeżeli J jest określona w przedziale otwartym (a, b) i jeśli a < x < b, to f'(x)jest określona jak i poprzednio wzorami (1) i (2). Jednakże f(a) i f{b) nie są już teraz określone.

I 5.4. PRZYKŁ> fcfcrŁona równo ^mfcazuje, że funkt rra nx"~¹ (prz] saro można powi Hf mianownik prz I Poniższe twiert dek tego wzoru bę

f 55. Twierdze Es € <«, b}, niech g

przyjmowanych przt