6 (42)

Całkowanie i różniczkowanie

115

■ Twierdzenie to bywa zazwyczaj nazywane podstawowym twierdzeniem rachunku eałkowe-k Jest ono stale stosowane przy obliczaniu całek.

K Dowód. Niech dana będzie liczba e > 0. Wybierzmy podział P = {x₀,... ,X_n} przedziału L. * tak,aby U(P,f)—L(P,f) < e. Na mocy twierdzenia o wartości średniej istnieją punkty He (j,_ i, x,) takie, że

F (Xt)-F (Xj _ i) = f(ti)JXi

Ik i = 1,2,..., n. Wtedy

Zmn*¹- F(b)-F{a)

wierdzenia 6.7 c) wynika, że

b

\F(b)-F(a)-$f(x)dx\ < e.

Znieważ nierówność ta zachodzi dla dowolnego e > 0, więc wynika stąd nasza teza.

6.22. Twierdzenie (całkowanie przez części). Niech F i G będąfunkcjami różniczko-mainymi określonymi na <a, by i niech F' = /6 G' = g e (%. Wtedy

b

b

§F(x)g(x)dx — F (b) G(b)—F (a) G (a)—j/ (x) G (x)dx.

Dowód. Niech H(x) = F(x)G(x) i zastosujmy twierdzenie 6.21 do funkcji H i jej pochodnej. Zauważmy, że H' e 01 na mocy twierdzenia 6.13.

Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych

6.23. DEFINICJA. Niech/^-!,... ,f_k będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na przedziale <a, by i niech f = (/V,..., f_k) będzie odpowiadającym odwzorowaniem przedziału <a, b> w przestrzeń R\ Niech funkcja a będzie monotonicznie rosnąca na <a, by. Powiemy, że f e e^(a), jeśli a) przy j = 1,..., k. W tym przypadku określimy

Mówiąc inaczej, Jido. jest to taki punkt przestrzeni R^k, którego j-ta współrzędna jest równajfjda.

Jest oczywiste, że twierdzenia 6.12a), c), e) są prawdziwe także dla funkcji o wartościach wektorowych; aby się o tym przekonać, należy jedynie zastosować poprzednie rezultaty do poszczególnych współrzędnych. To samo dotyczy twierdzeń 6.17, 6.20 i 6.21. Dla ilustracji sformułujemy twierdzenie analogiczne do twierdzenia 6.21.

6.24. TWIERDZENIE. Jeżelit i F odwzorowują przedział (a, by w przestrzeń R^k, jeżeli te di na <a, by i jeżeli F' = f, to