264 2

264

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

są dostatecznie bliskie siebie. Zazwyczaj moduł różnicy takich wartości daje (jeśli h dostatecznie małe) przybliżone oszacowanie błędu obcięcia dla dolnej z tych wartości Nie można jednak podać ścisłego i zawsze poprawnego oszacowania błędu.

W najczęściej spotykanym przypadku jest ą—2, a F(h) ma rozwinięcie postaci

(7.2.14)    F(łt)=a_Q+a_lh² + a_ih⁴'+...,

więc oczywiście p_k=2k. Wtedy w (7.2.13) nagłówki kolumn są równe

(7.2.15)    £d,...

Zilustrujemy teraz zastosowanie powyższego algorytmu do różniczkowania numerycznego. Z twierdzenia 7.1.5 wynika rozwinięcie

•f'(a)+a_lh²+a₂h* + ...

f(a ₊ h)-na-h) 2 h

Przykład 7.2.5. Obliczyć /'(3) dla /(x)=ln* za pomocą wartości logarytmu naturalnego wziętych z tablic sześciocyfrowych. Przyjmujemy h₀-0.8. Wtedy

ln(3+h)-ln(3-/»)

‘    2h    ¹

gdzie h=2 ^mh₍

h				Ti*
0.8	*oo“0.341590	-2087
0.4	d,o = 0.335330	-500	Au =0.333243	6
0.2	*2o=O.333$30		Au =0.333330		*21=0.333336
		-125		0	0
0.1	*30 “0.333455		A3l =0.333330		*32=0.333330

Przyjmując kryterium zakończenia algorytmu, akceptujemy wartość A_y2 =0.333330, gdńc |j?_r|^^-10~⁶. Ponieważ /'(*)= \}x, więc poprawną odpowiedzią jest /'(3)=0.33333 . Rzeczywisty błąd jest zatem równy —3 • 10“*. Głównym źródłem błędu są tu zaokrąglenia* co jest raczej związane z samym różniczkowaniem numerycznym, a nie z ekstrapolacją Richardsona.

Można wykazać (dla p_k=2k, q=2), że jeśli liczby z pierwszej kolumny, tj. Ago* ^ A 20,.... są obarczone błędami o modułach mniejszych od £, to spowodowane tym błędy zawartych w schemacie ekstrapolacyjnym nie przewyższają nigdzie Iz. Zalecamy kowi sprawdzenie tego, przynajmniej dla *=1,2,3. W powyższym    ^

błąd wartości A_m0 wynosi co najwyżej IO“⁶/2//<5-10"⁶, więc |R^|<10"⁵. dokładność, jaką należy zachować w pierwszej kolumnie, trzeba pamiętać o dok » jaką chciałoby się otrzymać h> końcowych wynikach ekstrapolacji. W przykładasz iaj