252 2

252

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

wyższym schemacie są już w pełni zdominowane przez błędy zaokrągleń tablicowych tości y.

Chociaż schematy różnicowe nie są już dziś tak. ważne, jak były w czasach obliczeń ręcznych lub wykonywanych na arytmometrach, to ich pojęciowe znaczenie jest jeszcze duże. Używa się ich też w kontrolach różnicowych, we wstępnym badaniu metod aproksy-macji danych funkcji, wytworzeniu szybkich oszacowań różnych typów' — np. w interpolacji i różniczkowaniu numerycznym.

Zastosowania takie jak w przykładzie 7.1.2 prowadzą w naturalny sposób do operacji różnicowych na funkcjach (a nie na ciągach). Operatory E i A odwzorowują teraz fuńkcję/na funkcje, których wartości w punkcie x są równe

(7.1.4)

ER*) -/(x ■+ h).    Af(x) =/(x+h) -f(x),

gdzie h jest krokiem tablicowania funkcji/. Po oczywistych modyfikacjach podane wcześniej tożsamości są prawdziwe także dla operatorów działających na funkcjach — np.

(7.1.5)

A²f(x) «/(jc + 2h)—2f(x + h) +f(x), AV (x - h) =/(* + h)-2f{ x)+f (x - h).

Oczywiście Af zależy od h, w pewnych przypadkach należy uwzględnić to w oznaczeniach. Możne* np. pisać A_if(x) lub Af(x: h).

Operatory różnicowa sq pod wieloma względami podobne do różniczkowych. W istocie znaczenie operatorów' różnicowych wynika głównie stąd, że różniczkowanie jest granicznym przypadkiem tworzenia różnic.

Twierdzenie 7.1.3. Jeśli f jest wielomianem stopnia trt, to A^kf dla 1    jest wielo

mianem stopnia m—k, a A^m+if=^ 0.

Dowód. Udowodnimy to twierdzenie dla A = l. Zgodnie z twierdzeniem Taylora

4f(x)=/(* + A>-/<*) = V'<x)+~ h²f X*) +...

z    tn!

a to wyrażenie jest oczywiście wielomianem stopnia?)*- I. Wynik dla dowolnego k sprawdza się indukcyjnie.

choć zwykle bardziej złożonych:

Przykład 7.1.3.

I)V.