9 4

Rozdział 10.

Ryc. 10.4- Wykres funkcji gęstości rozkładu ixirmalncgo przy różnych wartościach o i przy /« = 0.

Z kolei, aby obliczyć prawdopodobieństwo P(X < x) — F(x), gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, jV(m, <r), korzystamy ze standaryzowanej zmiennej losowej:

x - m

u =-

o

Wartości funkcji gęstości prawdopodobieństwa wyrażonej całką:

F(u) = j e"i^,sdt    (10.22)

' -co

znajdują się w tablicy 11.

Równanie (10.14) pozwala określić pole powierzchni pod krzywą pomiędzy dwoma punktami na osi poziomej dla znanych: średniej fi i odchylenia standardowego o.

Rycina 10.5 przedstawia przykładowe wykresy dwóch rozkładów normalnych: jeden o średniej /z = 10 i odchyleniu standardowym o - 5, oraz drugi o n = 20 i o = 10.

Jak widać z wykresów r.a rycinie 10.5, pole zawarte między punktami np. 10 i 20 nie jest dla obu rozkładów takie samo. Nie jest zatem możliwe skonstruowanie oddzielnych tablic pól powierzchni pod krzywą normalną

f<»)

Ryc. 10.5. Dwa lypy rozkładu normalnego.

dla wszystkich możliwych par wartości p i <r, w związku z czym slabelary-ZOwano tylko wartości pój wyrażających dystrybuantę rozkładu normalnego o parametrach pi 0 i a = 1 (tab. II).

Przykład. Szukamy prawdopodobieństwa otrzymania wartości u mniejszej od 0.94. Prawdopodobieństwo to jest równe powierzchni zakreskowanej części pola pod wykresem na rycinie 10.6. Z tabeli II dla u ;= 0.94 uzysknje-

Ryc. 10.6. Powierzchnia pod znormalizowaną krzywą rozkładu normalnego.

my wartość 0.8264, a zatem szukane prawdopodobieństwo w rozpatrywanym przykładzie wynosi 0.8264.

Cechy rozkładu normalnego

Na podstawie dotychczasowych rozważań, dotyczących rozkładu normalnego, możemy stwierdzić, źc:

- Gęstość prawdopodobieństwa /(x) dla każdego x jest większa od zera:

109

/(*) > 0