Algebra 12

^Imię i Nazwisk

^ane jest

Studia stacjonarne SGH

13 czerwca 2012

Nr indeksu

R³ określone wzorem

1.

Przekształcenie liniowe f ; Tg>3

Xj

X3

Xi

2x₂ + £3

Xi x₂

2x\

W yznaczyć wartości własne przekształcenia /.

\\^;yznaczyć rz/ i bazę ker/.

Czy dla każdego wektora y E R³ istnieje taki wektor x E R³, że y Odpowiedź uzasadnić.

/W?

2. Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni liniowej

{<p e W₃ (R) : tp (1)

0 A ip (

0},

gdzie W₃(R) oznacza zbiór wielomianów stopnia

3 o współczynnikach, rzeczywistych.

3. Dane jest równanie

z⁴ + (4 + i) z² + 4

0

Wyznaczyć pierwiastki równania. Obliczyć sumę pierwiastków równania

4. Niech X = {x € M³ : 2xi - x₂ +

0}, x

1

1

1

Wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni X. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora x na podprzestrzeń Obliczyć odległość wektora x od podprzestrzeni X.

X

5. Sprawdzić, czy zbiór A

{x 6 E³ :    2xi + < £3} j^est'•

a)    zbiorem wypukłym,

b)    stożkiem,

c)    stożkiem wypukłym.