ALG'0

270____Rozdziału. Algorytmy numeryczne

F(x, y)=0.

(funkcję w klasycznej postaci y=f(x) można łatwo sprowadzić do postaci uwikłanej). Oznaczmy pochodną cząstkową, liczoną względem zmiennej y przez /', (.V, y)    0. Przyjmując pewne uproszczenia, można za pomocą metod)

Newtona (patrz §11.1) obliczyć jej wartość dla pewnego x w sposób iteracyjny:

F(x,y)

• "^+l y" F_v(x,y) ’

• Stop,jeśli \y,„_i -y„\<z

Wartość początkowa yO powinna być jak najbliższa wartości poszukiwanej y i spełniać warunek: F(x, y_u) ■ F_r(x, y₀) > 0.

Zalety metody Newtona szczególnie uwidaczniają się w przypadku niektórych funkcji, gdzie iloraz może (ale nie musi) znacznie się uprościć. Przykładowo.

¹ „ 1 . _x 1 ’ dla y = — mamy: F(x, y) = 0 = x--oraz F (x, y) = —y . Po uproszczeniu

-y    y    y~

wzoru iteracyjnego, powinniśmy otrzymać: y_n+[ —2y_n — x(y„) .

Powyższe wzory przekładają się na program C++ w następujący sposób:

wartf.cpp

double wart(double x, double yn)

(

double ynl=2*yn-x*yn’yn;

//fabs(xi-|x¹,wartość bezwzględna dla danych double if( fabs;yn-ynl)<epsilon) return ynl;

else

return wart (x, ynl);

)

11.3.Interpolacja funkcji metodą Lagrange a

W poprzednich paragrafach tego rozdziału, bardzo często korzystaliśmy jawnie z wzorów funkcji i jej pochodnej. Cóż jednak począć, gdy dysponujemy fragmentem wykresu funkcji (tzn. znamy jej wartości dla skończonego zbioru argumentów) lub też wyliczanie na podstawie wzorów byłoby zbyt czasochłonne,