Analiza II sem zagadnienia (1)

Wymagania mi «!*»•"' ANALIZA MATEMATYCZNA II w rokn ak. 2011/2012

I.    Rachunek różniczkowy funkcji wielu mteuayeft-

1.    Definicje pochodnej ftmkcji (widu zmicnnvch i w ountccit

2.    Pochodna a ciągłość funkcji.

3.    Pochodne cząstkowe. Związek między pochodną a pochodnymi cząstkowymi (macierz pochodnej w bazach standardowych). Dowód, te ? ciągłości pochodnych cząstkowych wynika istnienie pochodnej funkcji: a z istnienia pochodnej wynika istnienie pochodnych cząstkowych, (ważne!)

4.    Odwzorowania klasy 0*1. Dyfcomorfizmy.

5.    Różniczkowanie złożenia funkcji (reguła łańcuchowa). Tw. o różniczkowaniu sumy. iloczynu i ilorazu funkcji (dowody ).

6.    Tw. o funkcji odwrotnej

7.    Tw. o funkcji uwikłanej (dowód).

8.    Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza o symetrii i jego konsekwencje dla funkci i klasy CTi.

9.    Wzór Taylora (dowód).

10.    Warunki konieczne i dostateczne na istnienie ekstremum lokalnego w punkcie.

II.    Teoria miary \ całki LdNSfu«'i

1.    Sigma-ciała zbiorów. Zbiory borełowskie, zbiory typu G. delta. F sigma

2.    Miara. Własności. Miara skończona, sigma-skończona, zupełna, unormowana.

3.    Miara zewnętrzna. Konstrukcja miary poprzez miarę zewnętrzną - twierdzenie Caratheodory’eęo.

4.    Miara zewnętrzna i miara ł ebesgue*a w R^Ak. Własności. Charakteryzacje zbiorów mierzalnych w sensie Lebe$guc'a. (ważne!)

5.    Funkcje mierzalne. Własności. Funkcje proste. Funkcje mierzalne nieuiemnc jako granice monotontczneco ciągu funkcji prostych, mierzalnych, nicujcmnych.

6.    Całka Lcbesguc'a: (a) z funkcji prostej: (b) z funkcji mierzalnej nieujemnej: (c) z funkcji mierzalnej Funkcje całkowalne, (ważne!)

7.    Tw. l4besgue*a o zbieżności monotonicznej (dowód).

8.    Lemat Fatou (dowód).

9.    TW. Lebesguc'a o zbieżności ograniczonej (dowód).

10.    Charakteryzacja funkcji całkowalnych w sensie Riemanna i I. TW. Fubinicgo.

12. Tw. o zamianie zmiennych i jego konsekwencje. Niezmienniczość micrzafności względem dy&omortizmów.

III.    CiAu krzywoliniowa

1.    Formy różniczkowe pierwszego stopnia. Pola wektorowe.

2.    Krzywe kawałkami gładkie. Długość krzywej,

3.    Całka z formy różniczkowej wzdłuż krzywej k.g. Całka wzdłuż konturu.

4.    Twierdzenie Greena (dowód).