Capture055

pikowym — równic/ 1/52 Zatem prawdopodobieństwo wyciągnięcia alb,, ._u króla. albo damy. albo walcu p«^ pr/y wyciąganiu jednej karty wynosi l/*: .

♦ 1/52 ♦ 1/52 = 4/51

\S powyższych przykładach mieliśmy do czynienia / dodawaniem ₍i, dobicństu Prawdopodnhieństwa mo/na dodawać do siebie, gdy da się zbiór zdarzeń wzajemnie wykluczających się. gdy mo/na określić prawd,>jw siwa związane z tymi zdarzeniami i gdy potrzebne jest prawdopodobieństw,, zane z podzbiorem tych zdarzeń

Przy rzutach dwiema monetami liczba możliwych wyników wynosi .

OR. RO i RR. prawdopodobieństwo zaś dowolnego wyniku, powicd/nn ortów, wynosi 1/4. Określa je iloczyn prawdopodobieństw związanych / i zdarzeniami niezale/nymi. t/n. 1/2 x 1/2 = 1/4. Prawdopodobieństwo, /er wszej monecie wypadnie orzeł, wynosi 1/2. prawdopodobieństwo, że n.i <]• monecie wypadnie orzeł również wynosi 1/2. zatem prawdopodobieństwo. / wypadnie na obu monetach, wynosi 1/4. Mamy tu do czynienia z prosu, m , , sowamem twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw. Twierdzenie to p<m ze prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia dwóch lub więcej zdarza: ■ zależnych jest iloczynem praw dopodobieństw poszczególnych zdarzeń z osobna tuicyjme rzecz biorąc, ..niezależny" znaczy tu. ze wystąpienie jednego /djr/. nie ma zupełnie nic wspólnego / wystąpieniem drugiego. Pr/y rzutach du . monetami to, czy na pierwszej z nich wypadnie orzeł c/.y reszka, nie nu wspólnego z tym. czy na drugiej wypadnie orzeł czy reszka. Ścisłej. <» dw • zdarzeniach mówimy, że są niezależne, gdy prawdopodobieństwo ich wspóii wystąpienia jest iloczynem dwóch prawdopodobieństw tych zdarzeń z osobna

Rozpatrzmy jeszcze kilka przykładów ilustrujących mnożenie prawdop«-: bieństw. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania czterech orłów w czterech u. lach monetą? Prawdopodobieństwo wyrzucenia jednego orła na którejkolwiek necie wynosi 1/2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła na wszystkich c/iere. monetach wynosi 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2= 1/16. Jakie jest prawdopodobnie:, uzyskania dwóch szóstek w rzutach dwiema kostkami? Prawdopodobieństwo rzucenia szóstki na pierwszej kostce wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo wyr/uu szóstki na drugiej kostce również wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo wyrzucę szóstki na obu kostkach wynosi 1/6 x 1/6 = 1/36. Jakie jest prawdopodobnie: wyciągnięcia asa. króla, damy pik w tej kolejności, bez zwracania kart. / dóbr., potasowanej talii? Prawdopodobieństwo, że pierwsza karta będzie asem pikowy wynosi 1/52. Po wyciągnięciu jednej karty pozostaje 51 kart. wobec tego pt. wdopodobieństwo. że druga karta będzie królem pikowym wynosi 1/51. Analne, c/nie prawdopodobieństwo, z.e trzecia karta będzie damą pikową wynosi I/5¹ Prawdopodobieństwo zdarzenia łącznego jest iloczynem poszczególnych prawe, podobieństw z osobna, czyli 1/52 x 1/51 x 1/50. czyli 1/132 600.

Powyższe przykłady ilustrują mnożenie prawdopodobieństw. Prawdopodohn stwa można mnożyć, gdy da się określić dwa lub więcej zdarzeń niezależnych, gd mo/na określić prawdopodobieństwa związane z tymi zdarzeniami i gdy potr/ebiu jest prawdopodobieństwo związane ze współ wystąpieniem tych zdarzeń.

6.6. Rozkłady prawdopodobieństw

W rozdziale 2 onuWumc /ostało pojęcie rozkładu liczebności ko,kład liczebności

/.k-lininwMO um jako tak, uVI«| danych. kuWy pokazu* hc/ehn,* konkretnych wetoki zmienne, alho lic/cbnr* wywęp,*™,, w«v*o «irs/c/»>ch sic w ohrehic określonych przedziałów zmienne, Rozważmy «cr*z sytuację w które, rzucamy trzema monetami Osiem możliwych wyników ar fXX> OOR. fykO RfXł l- i )K RM» kkR \Symk, te ią jednakowo mo/liwe Sp*-/«ł/my tera/ ro/kbd liczebności Ottów uzyskanych w tych ośmiu możliwych wynikach Zwróćmy uwagę /c trzy orły pojaw.a_H mc lam raz. dwa orły tr/y razy. jeden orzeł pojawia -•< tr/y razy i raz mc pojawia mc żaden or/d Żalem ro/kbd liczebności ortów. , odporna dającymi im prawdopodobieństwami p. jest następujący

Liczb* ortów	f	P
3	1	1/8
2	3	3/8
1	3	3/8
0	1	1/8
Razem	8	1.00

Rozkład przedstawiony w tabeli w ostatniej kolumnie po prawej stronie jest rozkładem prawdopodobieństwa. Pokazuje on prawdopodobieństwa pojawienia >h; 3. 2. I. 0 orłów, przy założeniu, że osiem możliwych wyników jest jednakowo prawdopodobnych. Tak więc przy ośmiokrotnym rzucaniu trzema rzetelnymi monetami prawdopodobieństwo uzyskania trzech orłów wynosi 1/8. dwóch orłów 3/8 itd

Rozważmy sytuację, w której rzucamy dwiema kostkami do gry . Liczba możliwych wyników, jak pokazano w podrozdziale 6.3. wsnosi tu 36. Przyjmujemy, te wyniki te są jednakowo prawdopodobne Zsumujmy liczby, które pojawiają się przy rzucaniu dwiema kostkami. Najniższa możliwa wartość wynosi 2. najwyższa — 12. razem pojawia się II wartości od 2 do 12. Liczebności tych II wartości i związane z nimi prawdopodobieństwa przedstawia poniższa tabela

Liczba .V		_P
12	1	1/36
II	2	2/36
10	3	3/36
9	4	4/36
8	5	S/3ó
7	6	6/36
6	5	5/36
5	4	4/36
4	3	3/36
3	2	2/36
2	i	1/36
Razem	.36	1 00

Rozkład przedstawiony w tabeli w ostatniej kolumnie po prawej stronic jest rozkładem prawdopodobieństwa. Rozkład prawdopodobieństwa określa prawdopodobieństwa związane / poszczególnymi wartościami zmiennej bądź gdy sto.su-

109