CCF20090120053

JAK WYNALEZIONO LOGARYTMY

Drugi nasz suwak konstruowaliśmy na zasadzie stałego podwajania poprzedniej wielkości. Teraz zrobimy sobie jeszcze lepszy, przyjmując zamiast 2 liczbę 1,1.

A więc załóżmy, że oznaczamy na skali dwa punkty odpowiadające liczbie 1 i liczbie 1,1. Odstęp między nimi może wynosić ~ cm, tj.

1 mm. Wiemy wobec tego, że przesunięcie wzdłuż skali o 1 mm (jeśli ktoś woli, dodanie 1 mm do długości liny) oznacza pomnożenie przez 1,1. A zatem potrafimy oznaczyć na skali punkty: 1, 1,1, 1,21, 1,331 itd. Każda z tych liczb jest 1,1 raza większa od poprzedniej.

Ten ciąg liczb jest identyczny z ciągiem, jaki otrzymalibyśmy, gdybyśmy ulokowali w banku na procent składany 1 zł przy stopie wynoszącej 10%, i przez dowolną liczbę lat pozwolili narastać odsetkom. Z upływem każdego foku ulokowana suma rośnie o jedną dziesiątą — a zatem z upływem każdego roku kapitał zostaje pomnożony przez 1,1. Przypuszczalnie właśnie analiza tabel procentów składanych nasunęła pomysł lo-garytmów ich wynalazcy, Napierowi.

Część liczb, jakie można w ten sposób ustalić, oraz odstępy, w jakich należy rozmieścić odpowiadające im punkty, przedstawiamy w poniższej tabeli:

Liczba

1,948

2,143

2,852

3,137

5,053

6,725

7,397

9,846

10,831

Odstęp (w cm) 0,7

0,8

1,1

1,2

1,7

2,0

2,1

2.4

2.5

Wynika stąd, że liczbę 2 należy oznaczyć między 0,7 a 0,8 cm odległości od początku skali: liczbę 5 tuż przed 1,7 cm; liczbę 7 — między 2,0 a 2,1 cm; liczbę 10 — w odległości nieznacznie większej niż 2,4 cm. ,,Jeden pełny obrót” odpowiada zatem odległości nieco większej niż 2,4 cm.

Te dane wciąż jeszcze nie wystarczą do sporządzenia naprawdę dobrego suwaka. Na przykład, nie potrafimy dokładnie oznaczyć położenia liczby 7. W naszej tabeli brak liczb między 6,725 a 7,397. Możemy jedynie zgadywać, w którym miejscu — gdzieś między tymi dwiema liczbami — winno znajdować się 7. A w ogóle obliczenia na naszym suwaku miałyby margines błędu wynoszący ok. 10%. Wynika to stąd, że kolejne liczby otrzymujemy przez dodanie 10% do poprzedniej; dlatego nie możemy osiągnąć wyższego stopnia dokładności.

Możemy posłużyć się naszą tabelą dla znalezienia logarytmów liczb 2, 3, 4 itd., ale i te wyniki będą jedynie przybliżeniem. „Jeden pełny obrót” to odległość odpowiadająca 10; zgadujemy, że będzie to ok. 2,42 cm. Liczbie 2 odpowiada odległość między 0,7 a 0,8 cm, najpewniej 0,73. Wyrażając 0,73 jako ułamek „jednego pełnego obrotu”, otrzymamy przybliżoną wartość log 2. 0,73 podzielone przez 2,42 daje 0,3016 — zdumiewająco dobry wynik jak na zgadywankę.

Czytelnik łatwo zauważy, jaki stopień dokładności będzie miał nasz suwak i tablica logarytmów, jeśli w kolejnych mnożeniach poisłużymy się liczbą 1,000001 (jeden i jedna milionowa). Sporządzając pierwsze tablice logarytmów Na-pier zastosował liczbę 1,0000001 (jeden i jedna dziesięciomilionowa).

Oczywiście, wcale nie musimy sporządzać własnych tablic logarytmicznych. Pracę tę już za nas wykonano. Jedyna korzyść, jaką da nam

109