CCF20090120060

5.    Jeśli na uruchomienie jakiejś maszyny potrzeba a minut, na wykonanie zaś przez tę maszynę danego detalu potrzeba b minut, to ile czasu zajmie uruchomienie maszyny i wykonanie przez nią 10 detali?

Ile czasu zajmie uruchomienie maszyny i wytworzenie n detali? Zapisz kolejno: czas potrzebny na uruchomienie maszyny; czas potrzebny na uruchomienie jej i wykonanie 1 detalu; czas potrzebny na uruchomienie jej i wykonanie 2 detali itd.

6.    W zadaniu 5 czas potrzebny na uruchomienie maszyny i wykonanie n detali wynosi a+bn minut. Ostatnia część zadania poleca symbolowi n we wzorze a+bn przypisać kolejno wartości liczbowe 0, 1, 2, ... Otrzymamy wówczas kolejno: a, a+b, a+2b ... itd. Takie przypisywanie n określonych wartości liczbowych nazywa się podstawianiem zamiast n. 1 tak na przykład, a+2b otrzymamy w wyniku podstawienia n =

—    2 do wzoru a+bn.

Jeśli we wzorze n²— 1 podstawiamy n — 7, otrzymamy 7²—1. W zadaniu 3 podstawialiśmy kolejno n =

2n²

= 0, n = 1, n — 2 ... itd. do wzoru . Jeżeli Czytelnik

nie oswoi się z tymi pojęciami, nie będzie mógł śledzić toku rozumowania w rozdz. 8. W tym też celu zamieszczamy poniższe przykłady:

a)    Jeśli pociąg w ciągu 1 godziny przebywa v km, to w ciągu n godzin przebędzie on nv km. Zrób tabelkę odległości, jakie przebędzie pociąg w czasie 0, 1, 2, 3, 4, 5 godzin.

b)    Jaka będzie ta tabelka jeśli v = 30, tzn. jeśli pociąg jedzie z prędkością 30 km na godzinę?

c)    Jaka będzie tabelka przy v = 10?

d)    Jaki otrzymamy wynik, jeśli do wyrażenia: 5n +

—    1 podstawimy n = 4?

e)    Jaki otrzymamy wynik, jeśli podstawimy n — 1 do wyrażenia 2n²+3n+5?

f)    Jakie możesz zrobić spostrzeżenia o wynikach otrzymanych przy kolejnym podstawianiu n — 0, n = 1, n ~ 2, n = 3 ... itd. ido wyrażenia n²+4n+4?

g)    Jakie otrzymamy wyniki przy kolejnym podstawianiu n — 0, 1, 2 ... itd. do wyrażenia an²+bn+c?

Uwaga. Stwierdziłem, że to ostatnie pytanie zwykle sprawia uczniom kłopoty. Odpowiedź na nie będzie nam jednak potrzebna przy czytaniu rozdz. 8. Porównaj ten przykład z przykładem e. Jeśli do wyrażenia 2n²+3n+5 podstawimy n = 1, otrzymamy 10, ponieważ gdy n = 1, n² ~ l², a wyrażenie 2?i²+3tt+5 ma wartość (2 • l)+;(3 *..l) + 5, czyli 2+3 + 5. Tak więc, gdy n = 1, wszystkie trzy liczby występujące w danym wyrażeniu ((2, 3 i 5) należy po prostu dodać do siebie. Taki będzie wynik bez względu na to, jakie to są liczby.. Jeśli podstawimy n — 1 np. do wyrażenia li07i²+17fi+35, otrzymamy w wyniku 10+17+85, tzn. 62. Jeśli n = 1 podstawimy do jakiegokolwiek wyrażenia tego typu (tj. takiego, w którym występuje pewna liczba n², pewna liczba n i liczba dodana), to odpowiedź otrzymamy dodając do siebie trzy liczby występujące w tym wyrażeniu. Wobec tego, jeśli podstawimy n — 1 do wyrażenia ero²+im+c, odpowiedź brzmieć będzie: ot+b+c.

Analogicznie, jeśli podstawimy do wyrażenia tego typu n = 0, w odpowiedzi otrzymamy trzecią z liczb występujących w tym wyrażeniu. Na przykład, jeśli n — 0, wyrażenie 4n²+173n+45 ma wartość liczbową 45. Jeśli n = 0, wyrażenie ati²+bn+c równa się c.

Można również sprawdzić, że w wyniku podstawienia n — 2 otrzymamy w odpowiedzi

4 razy pierwsza liczba wyrażenia

+

2 razy druga liczba wyrażenia

+

trzecia liczba wyrażenia

W skróconej postaci wynik ten zapisujemy jako 4a+ + 2b +c.

Znajdź samodzielnie ogólną zasadę rządzącą przypadkami, gdy n = 3, n = 4, n = 5.

Jeśli rozdział ten sprawia Czytelnikowi poważniejsze trudności, warto skontaktować się z jakimś inżynierem czy technikiem, który opowie, jak postępuje gdy rozwiązując jakieś praktyczne problemy musi posługiwać isię wzorami. Również początkowa partia rozdz. 8 może przyczynić się do lepszego zrozumienia, jak używa się wzorów w życiu praktycznym. Dopiero w końcowej części rozdz. 8 (Rachunek różniczkowy) zajmiemy się problemamy 'zbliżonymi do tych, jakie występują w przykładzie 6,