CCF20090120070

Kontynuując te obliczenia, dojdziemy do wyrazów zestawionych w tab. 5.

..Tabela 5

a    b    c    d    e

b — a    c — b    d — c    e—d

c—2b^Jt~a d — 2c + b    e — 2d+c

d — 3c+3b —a    e—3d + 3c — b

e — 4d + 6c—4b + a

Jeśli przyjrzymy się tej tabeli, możemy zauważyć pewne ciekawe jej cechy. W każdym wierszu występuje pewien określony zbiór liczb. Na przykład, w wierszu A⁴y widzimy liczby 1, 4, 6, 4, 1. W wierszu A^zy mamy liczby 1, 3, 3, 1. W wierszu A²yi widzimy 1, 2, 1, zaś w wierszu Ay — po prostu 1, 1. (Nie zwracamy tu uwagi na to, czy liczby te występują ze znakiem + czy —.) Łatwo zauważyć, że te ciągi liczbowe odczytywane z lewa na prawo mają tę samą postać, co z prawa na lewo. Na przykład, 1, 3, 3, 1 ma tę samą postać od jednej i od drugiej strony. Zauważmy także, że pierwszą i ostatnią liczbą jest zawsze 1. Co jeszcze możemy zaobserwować? Jaka zasada wyznacza liczbę stojącą zaraz obok liczby skrajnej? Czy możecie znaleźć wzór, z którego otrzymalibyście następną sąsiednią liczbę? (Aby to zrobić, trzeba do tab. 5 dopisać jeszcze parę wierszy.) Posługując się wyłożoną wyżej metodą, znajdźcie wzór określający pewien zbiór liczb.

Liczby te znane są pod nazwą współczynników dwumianowych.Matematycy doszli do ich poznania w taki sam sposób, jak my — stwierdzając w toku swej pracy, że stale się one powtarzają. Pojawiają się one np. wtedy, gdy obliczamy 11², ll³, ll⁴, co daje odpowiednio 121, 1331, 14 641. (Od tego momentu w rachunku pojawia się przenoszenie cyfr do następnego miejsca dziesiętnego i ta prosta prawidłowość znika.) Dla A⁵y kolejnymi liczbami są: 1, 5, 10, 10, 5, 1, zaś liczba 10 nie może, rzecz jasna, zajmować jednego miejsca dziesiętnego w liczbie wyrażającej ll⁵. W rzeczywistości ll⁵ to 161 051, i czytane od lewej do prawej nie jest już takie same, jak !od prawej !k:u lewej. Rozpatrywane liczby (współczynniki dwumianowe) pojawiają się również w (o:+l)²! (x + l)³, (a:+l)⁴ itd. Są one zestawione w tab. 6.

Tabela 6

1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6
1	7	21	35	35	21

Teraz Czytelnik może sam ocenić, jakie miejsce zajmuje w szeregu wybitnych matematyków. Tabela 6 znana była już w 1544 r. Stopniowo ludzie dostrzegali coraz to inne jej szczególne właściwości. Ale dopiero w 1664 r., a więc w 120 lat później, największy matematyk angielski znalazł wzór, na podstawie którego można wyznaczyć liczby w każdej kolumnie tab. 6. Pierwsza kolumna zawiera zawsze jedności. Druga kolumna zawiera liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, co stanowi bardzo prostą prawidłowość. Ale jaka reguła wyznacza liczby w trzeciej kolumnie — 1, 3, 6, 10, 15, 21? Problem okaże się zupełnie łatwy, jeśli posłużymy się metodą opisaną poprzednio w tym rozdziale; należy sporządzić tabelę podobną do tabel 1—4, a potem poszukać wzoru.

Reguła znaleziona przez Newtona (do której, mam nadzieję, również Czytelnik dojdzie sam) znana jest pod nazwą dwumianu Newtona. Twierdzenie o dwumianie jest właśnie regułą, według której układają się liczby w tab. 6.

Wyjaśniliśmy znaczenie 'Ay, A²y itd. w tym

143