CCF20090120099

drogę ciało przebywa w ciągu jednej dziesiątej sekundy, to możemy mieć pewne pojęcie o jego prędkości.

Czy oglądając wykres przedstawiający ruch ciała, możemy powiedzieć, jaką drogę przebyło ono w ciągu

Na ryc. [316 przedstawiono część wykresu, odpowiednio powiększoną. Odcinek AB reprezentuje jedną dziesiątą cala i odpowiada jednej dziesiątej sekundy. Na początku tej dziesiątej części sekundy ołówek dotykał papieru w punkcie C.. Na końcu dziesiątej części sekundy ołówek dotykał papieru w punkcie D. Musiał on więc wznieść się w ciągu tego czasu o 'odcinek DE. Inaczej mówiąc, DE przedstawia zmianę wielkości y, a więc Ay. Czas, jaki minął, wyznacza odcinek AB. A więc AB reprezentuje Aa:. A zatem prędkość średnią, A y

~Ax~' znajdujemy dzieląc długość odcinka DE przez

długość odcinka AB. Odcinek AB ma tę samą długość co CE. A zatem DE podzielone przez CE oznacza prędkość średnią. Jest zaś rzeczą jasną, że DE podzielone przez CE daje nam pewną miarę stromości krzywej pomiędzy punktami C i D.

Gdybyśmy zamiast dziesiątej _ części rozpatrzyli setną albo tysiączną część sekundy, to znaleźlibyśmy lepszą odpowiedź — bliższą dokładnej wartości y'. Tak więc można wyjaśnić, co to jest y', nie wprowadzając w ogóle pojęcia prędkości. Punktem wyjścia będzie wykres. Obieramy punkt B blisko punktu A, sporządzamy rysunek i mierzymy DE oraz CE. Następnie obliczamy

DE

CE

. Później zaczynamy od początku: obieramy B jesz

cze bliżej A i obliczamy iloraz DE przez CE dla nowej figury. W miarę jak B zbliża się do A, nasza odpowiedź zbliża się do pewnej liczby. Liczba, do której się zbliżamy, jest równa y'\ możemy y' uważać za miarę stromości krzywej w punkcie C,.

W ten sposób wielkości y' nadaliśmy pewien sens zupełnie niezależny od pojęcia ruchu. To samo można odnieść do y", a symbole te _:(jak już wspominaliśmy o tym wcześniej) można stosować przy rozwiązywaniu problemów dotyczących kształtu wiszącego łańcucha albo przęsła mostu, albo najlepszej krzywej dla zęba koła zębatego. Nie powinno zdziwić Czytelnika, jeżeli znajdjZiie jeszcze inne zastosowania wielkości y', w których nie występuje ani kształt, ani prędkość. Na przykład x mogłoby przedstawiać temperaturę ciała, a y mogłoby mierzyć ilość ciepła dostarczanego ciału. Można wówczas wielkości y' nadać pewien sens. Jeżeli w jakimkolwiek problemie spotykamy się z symbolem y' cit/

lub —, to muszą w nim występować dwie wielkości, x i y, tak powiązane ze sobą, że każda zmiana wielkości x powoduje automatycznie zmianę wielkości y.

Tak więc, naszą definicję określającą y' jako prędkość można traktować jako pewnego rodzaju rusztowanie. Na początku była ona użyteczna, ale nikt nie zachowuje rusztowania, gdy dom został zbudowany. Gdy Czytelnik zdobędzie pewne doświadczenie w różnych zastosowaniach wielkości y', wówczas prawdopodobnie potrafi myśleć o niej po prostu jako o liczbie, Ay

do której zbliża się-r^-, gdy Ax staje się coraz mniej-

Al

sze. Ale nie spieszmy się z tym zbytnio. Nawet gdy Czytelnik będzie już gruntownie obeznany z pojęciem wielkości y', często pomoże mu fakt, że można ją traktować jako prędkość albo jako stromość wykresu.

201